Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy \(a\) oraz wysokości \(h\). Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek). Niech \(F\) będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.





Różnica objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa jest równa:

A \(\frac{1}{3}a^2 h\)
B \(\frac{2}{3}a^2 h\)
C \(\frac{1}{3}ah^2\)
D \(\frac{2}{3}ah^2\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie objętości graniastosłupa. Nasz graniastosłup jest prawidłowy, czyli w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Skoro tak, to zgodnie z oznaczeniami z treści zadania, możemy zapisać, że jego objętość będzie równa: $$V_{g}=a\cdot a\cdot h \           ,\ V_{g}=a^2 h$$ Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa. Teraz obliczmy objętość ostrosłupa. Tutaj sytuacja będzie bardzo podobna, wystarczy tak naprawdę tylko skorzystać ze wzoru na objętość ostrosłupów, zatem: $$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot h \           ,\ V_{o}=\frac{1}{3}a^2 h$$ Krok 3. Obliczenie objętości bryły \(F\). Trzeba uważnie wczytać się w treść zadania, bo łatwo tutaj o pomyłkę. Bryła \(F\) to ta część graniastosłupa z której wyjmiemy nasz ostrosłup. Jej objętość będzie zatem równa: $$V_{F}=a^2 h-\frac{1}{3}a^2 h \           ,\ V_{F}=\frac{2}{3}a^2 h$$ Krok 4. Obliczenie różnicy objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa. Celem zadania jest odpowiedź o ile bryła \(F\) ma większą objętość od ostrosłupa. W związku z tym: $$V=\frac{2}{3}a^2 h-\frac{1}{3}a^2 h \           ,\ V=\frac{1}{3}a^2 h$$

Teoria:      
W trakcie opracowania