Do dyspozycji są dwa puste pojemniki oraz pięć kul. Każdą z kul należy umieścić w pojemniku. Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń tych kul zależy od cech kul i pojemników. W poniższej tabeli w lewej kolumnie podano cechy obiektów (kul i pojemników).



Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź wybraną spośród A–F.

A. \(6\)

B. \(2\cdot5\)

C. \(2^4\)

D. \(3\)

E. \(2^5\)

F. \(5^2\)

Odpowiedź:      

1. E
2. C
3. A
4. D

Rozwiązanie:      
I przypadek: Kule rozróżnialne, pojemniki rozróżnialne Jeżeli kule są rozróżnialne (czyli np. każda ma inny kolor) i pojemniki są także rozróżnialne (np. mniejszy i większy), to będziemy mieć taką sytuację: · Pierwsza kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości · Druga kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości · Trzecia kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości · Czwarta kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości · Piąta kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich przypadków będziemy mieć: $$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$ II przypadek: Kule rozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne Jeżeli kule są rozróżnialne (czyli np. każda ma inny kolor), a pojemniki są nierozróżnialne (czyli są identycznie i nie ma znaczenia czy kula trafia do pierwszego czy drugiego pojemnika), to liczba możliwych kombinacji będzie dwa razy mniejsza niż w I przypadku. Dlaczego? Mówiąc bardzo obrazowo - w pierwszym przypadku np. żółta i czerwona kula w pierwszym pojemniku oraz żółta i czerwona kula w drugim pojemniku, to były dwa zupełnie różne zdarzenia. Tutaj będą to zdarzenia jednakowe, bo pojemniki są nierozróżnialne. Stąd też wszystkich przypadków będziemy mieć tutaj \(2^5:2=2^4\). III przypadek: Kule nierozróżnialne, pojemniki rozróżnialne Jeżeli kule są nierozróżnialne (czyli są identyczne i nie ma znaczenia która to konkretnie kula), a pojemniki są rozróżnialne, to całość zadania sprowadza się tak naprawdę do tego, ile kul znajdzie się w jednym pojemniku, a ile w drugim. Jeśli przykładowo w pierwszym pojemniku będą \(2\) kule, a w drugim \(3\), to zapisalibyśmy to zdarzenie jako \((2;3)\). Mamy więc następujące możliwości: $$(0;5), (1;4), (2;3), (3;2), (4;1), (5;0)$$ To oznacza, że wszystkich różnych rozmieszczeń mamy dokładnie \(6\). IV przypadek: Kule nierozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne I tu podobnie jak w drugim przypadku, skoro pojemniki są nierozróżnialne, to liczba kombinacji będzie \(2\) razy mniejsza niż przy pojemnikach rozróżnialnych (które rozpisaliśmy w III przypadku). Mówiąc bardzo obrazowo, w tej sytuacji zdarzenie np. \((1;4)\) oznacza dokładnie to samo co \((4;1)\) (bo właśnie pierwszy i drugi pojemnik jest nierozróżnialny). W takim razie wszystkich różnych rozmieszczeń będziemy mieć tutaj \(6:2=3\).

Teoria:      
W trakcie opracowania