Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A=(-15,-8), B=(-6,4), C=(-19,-5)\).
Zadanie 1.
Wykaż, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.
Zadanie 2.
Wierzchołki trójkąta \(ABC\) są trzema wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Odcinek \(AC\) jest przekątną tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołka \(D\).
Zadanie 3.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczonych miejscach, aby zdanie było prawdziwe.
Punkt \(S\) przecięcia środkowych trójkąta \(ABC\) ma współrzędne:
$$S=(......, .......)$$
Odpowiedź:
1. Udowodniono korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
2. \(D=(-28,-17)\)
3. \(S=\left(\frac{-40}{3}, -3\right)\)
Rozwiązanie:
Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
Spróbujmy w ten sposób obliczyć długość trzech boków tego trójkąta (podstawiając do powyższego wzoru odpowiednie dane). Zacznijmy od przyprostokątnej \(AB\), czyli:
$$|AB|=\sqrt{(-6-(-15))^2+(4-(-8))^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{(-6+15)^2+(4+8)^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{9^2+12^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{81+144} \ ,\
|AB|=\sqrt{225}=15$$
Teraz podobnie obliczymy przyprostokątną \(AC\):
$$|AC|=\sqrt{(-19-(-15))^2+(-5-(-8))^2} \ ,\
|AC|=\sqrt{(-19+15)^2+(-5+8)^2} \ ,\
|AC|=\sqrt{(-4)^2+3^2} \ ,\
|AC|=\sqrt{16+9} \ ,\
|AC|=\sqrt{25}=5$$
I na koniec została przeciwprostokątna \(BC\):
$$|BC|=\sqrt{(-19-(-6))^2+(-5-4)^2} \ ,\
|BC|=\sqrt{(-19+6)^2+(-9)^2} \ ,\
|BC|=\sqrt{(-13)^2+(-9)^2} \ ,\
|BC|=\sqrt{169+81} \ ,\
|BC|=\sqrt{250}=\sqrt{25\cdot10}=5\sqrt{10}$$
Krok 2. Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to między długościami jego boków zajdzie równość znana z twierdzenia Pitagorasa, czyli \(a^2+b^2=c^2\). Podstawmy zatem otrzymane długości (najlepiej podstawić wyniki w postaci pierwiastków, wtedy obliczenia będą znacznie szybsze):
$$(\sqrt{225})^2+(\sqrt{25})^2=(\sqrt{250})^2 \ ,\
225+25=250 \ ,\
250=250 \ ,\
L=P$$
Skoro lewa strona jest równa stronie prawej, to faktycznie trójkąt jest prostokątny, co należało udowodnić.
Rozwiązanie 2.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu dość łatwo o pomyłkę, dlatego uważnie wczytajmy się w treść zadania. Bok \(AC\) musi być przekątną równoległoboku, czyli opisywana w treści zadania sytuacja wygląda następująco:
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(O\).
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie pamiętanie o tym, iż przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Tym samym środek \(O\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AC\). Skoro tak, to korzystając ze wzoru na środek odcinka, możemy zapisać, że:
$$O=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
Podstawiając do tego wzoru dane z treści zadania, otrzymamy:
$$O=\left(\frac{-15+(-19)}{2};\frac{-8+(-5)}{2}\right) \ ,\
O=\left(\frac{-15-19}{2};\frac{-8-5}{2}\right) \ ,\
O=\left(\frac{-34}{2};\frac{-13}{2}\right) \ ,\
O=\left(-17;-\frac{13}{2}\right)$$
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(S\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(BD\). Ponownie więc możemy skorzystać ze wzoru na środek odcinka i tym samym obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\). Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędną \(x_{D}\) oraz \(y_{D}\), zatem:
$$x_{S}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2} \ ,\
-17=\frac{-6+x_{D}}{2} \ ,\
-34=-6+x_{D} \ ,\
x_{D}=-28$$
$$y_{S}=\frac{y_{B}+y_{D}}{2} \ ,\
-\frac{13}{2}=\frac{4+y_{D}}{2} \ ,\
-13=4+y_{D} \ ,\
y_{D}=-17$$
To oznacza, że \(D=(-28,-17)\).
Rozwiązanie 3.
Do obliczenia punktu \(S\), czyli punktu przecięcia się środkowych trójkąta \(ABC\) możemy skorzystać ze wzoru zapisanego w tablicach:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)$$
Podstawiając do tego wzoru współrzędne z treści zadania, otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-15+(-6)+(-19)}{3}, \frac{-8+4+(-5)}{3}\right) \ ,\
S=\left(\frac{-15-6-19}{3}, \frac{-8+4-5}{3}\right) \ ,\
S=\left(\frac{-40}{3}, \frac{-9}{3}\right) \ ,\
S=\left(\frac{-40}{3}, -3\right)$$
Teoria:
W trakcie opracowania
