Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), rozważamy dwie proste o równaniach \(y=a+b\cdot x\) oraz \(y=-\frac{1}{a}-\frac{2}{3}b^2\cdot x\), gdzie \(a\neq0, b\neq0\).



Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.



Dla \(a=2\) i \(b=-\frac{3}{2}\) rozważane proste są:

Odpowiedź:      

B., ponieważ 3.

Rozwiązanie:      
Sporą pułapką w tym zadaniu są dość niestandardowe oznaczenia w równaniu prostej (zazwyczaj prostą zapisujemy równaniem w postaci \(y=ax+b\), a tutaj mamy model typu \(y=a+bx\)). Musimy być więc bardzo ostrożni. Na początek podstawmy do naszych równań dane z treści zadania, czyli \(a=2\) i \(b=-\frac{3}{2}\). I prosta: $$y=2+\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot x \           ,\ y=2-\frac{3}{2}x \           ,\ y=-\frac{3}{2}x+2$$ II prosta: $$y=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2\cdot x \           ,\ y=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}\cdot x \           ,\ y=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}x \           ,\ y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$$ Otrzymaliśmy dwie proste, które mają jednakową liczbę przed \(x\) (czyli mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\) - nie mylić tego z liczbami \(a\) i \(b\), które pojawiły się w tym zadaniu). To oznacza, że te dwie proste są względem siebie równoległe. Musimy jeszcze ustalić powód - stało się tak, ponieważ liczby stojące przed \(x\) okazały się takie same, czyli \(b\) z pierwszej prostej było równe tyle samo co \(-\frac{2}{3}b^2\) z drugiej prostej. Stąd też prawidłową odpowiedzią będzie, że te dwie proste są względem siebie równoległe, ponieważ \(b=-\frac{2}{3}b^2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania