W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o równaniu \(x^2+y^2=2\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=m\), gdzie \(m\in R\).



Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.



Okrąg \(O\) i prosta \(k\) mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy \(m\in.....\)

Odpowiedź:      

\(m\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia okręgu. Równanie okręgu zapisujemy jako \((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\). Z podanego w treści zadania równania \(x^2+y^2=2\) wynika więc, że \(S=(0,0)\) oraz \(r=\sqrt{2}\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy to sobie rozpisać w ten oto sposób: $$(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2$$ I teraz bardzo wyraźnie widać, że \(a=0\), \(b=0\) oraz \(r=\sqrt{2}\), czyli \(S=(0,0)\) oraz \(r=\sqrt{2}\). Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie punktów wspólnych. Prosta \(y=m\) to prosta, która będzie równoległa do osi \(Ox\). Przykładowo gdy \(m=1\) to mamy prostą \(y=1\), a gdy \(m=7\), to mamy prostą \(y=7\). Musimy teraz ustalić, dla jakiego \(m\) ta prosta będzie mieć dwa punkty wspólne z okręgiem, czyli kiedy tak naprawdę ta prosta będzie przecinać nasz okrąg. Na powyższym rysunku widać kilka przykładowych zielonych linii, które przecinają okręg w dwóch miejscach. Widzimy więc wyraźnie, że taka linia musi znajdować się między tymi naszymi przerywanymi liniami. To prowadzi nas do wniosku, że prosta przetnie okrąg w dwóch miejscach tylko wtedy, gdy \(m\) jest większe od \(-\sqrt{2}\) i mniejsze od \(\sqrt{2}\). Z tego też względu okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy \(m\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})\)

Teoria:      
W trakcie opracowania