Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(70\). Na boku \(AB\) obrano punkt \(E\), na przekątnej \(AC\) obrano punkt \(F\), a na boku \(AD\) obrano punkt \(G\) - tak, że czworokąt \(AEFG\) jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto \(|EF|=30\) i \(|GF|=40\).





Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy:

A \(158\)
B \(196\)
C \(336\)
D \(490\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa prostokątów i zapisanie stosunku długości boków. W zadaniu mamy do czynienia z prostokątami podobnymi. Z treści zadania wynika, że ten mały prostokąt \(AEFG\) ma wymiary \(40\times30\), zatem stosunek długości boków wynosi tutaj \(40:30\), czyli \(4:3\). Analogiczny stosunek długości boków musi więc wystąpić w tym drugim prostokącie, zatem możemy zapisać, że bok \(AB=4x\) oraz \(BC=3x\). Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta \(ABCD\). Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długość \(3x\) oraz \(4x\), a przeciwprostokątna jest równa \(70\) (zgodnie z treścią zadania). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że: $$(3x)^2+(4x)^2=70^2 \           ,\ 9x^2+16x^2=4900 \           ,\ 25x^2=4900 \           ,\ x^2=196 \           ,\ x=14 \quad\lor\quad x=-14$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=14\). Skoro tak, to długości boków naszego prostokąta będą następujące: $$|AB|=4x=4\cdot14=56 \           ,\ |BC|=3x=3\cdot14=42$$ Wiemy już zatem, że nasz duży prostokąt ma wymiary \(56\times42\). Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta \(ABCD\). Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu tej figury: $$Obw=2\cdot56+2\cdot42 \           ,\ Obw=112+84 \           ,\ Obw=196$$

Teoria:      
W trakcie opracowania