Rozwiąż równanie \(\frac{x+8}{x-7}=2x\)

Odpowiedź:      

\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń do równania. Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie z tego względu, musimy zapisać założenia do równania. W związku z tym: $$x-7\neq0 \           ,\ x\neq7$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Wymnażając obydwie strony równania przez \(x-7\), otrzymamy: $$\frac{x+8}{x-7}=2x \quad\bigg/\cdot(x-7) \           ,\ x+8=2x^2-14x \           ,\ -2x^2+15x+8=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty. Współczynniki: \(a=-2,\;b=15,\;c=8\) $$Δ=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-2)\cdot8=225-(-64)=225+64=289 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{289}=17$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15-17}{2\cdot(-2)}=\frac{-32}{-4}=8 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15+17}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$ Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\).

Teoria:      
W trakcie opracowania