Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując: $$5b^2-4ab+a^2\ge0 \           ,\ a^2-4ab+5b^2\ge0$$ Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy: $$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$ Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako: $$(a-2b)^2+b^2\ge0$$ Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.

Teoria:      
W trakcie opracowania