MATEMATIX

Polityka prywatności

StartKlasyKlasa 4 SP › Proste prostopadłe i równoległe

Proste prostopadłe i równoległe

Klasa 4 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Proste, kąty i rodzaje trójkątów

Wzajemne położenie prostych

  • Prostopadłe ($k\perp l$) — przecinają się pod kątem $90^\circ$
  • Równoległe ($k\parallel l$) — nie mają punktu wspólnego, odległość między nimi jest stała
  • Przecinające się — mają dokładnie jeden punkt wspólny

Rodzaje kątów

  • Ostry — mniejszy niż $90^\circ$
  • Prosty — dokładnie $90^\circ$
  • Rozwarty — większy niż $90^\circ$, ale mniejszy niż $180^\circ$
  • Półpełny — dokładnie $180^\circ$
  • Pełny — dokładnie $360^\circ$

Suma kątów w trójkącie

W każdym trójkącie zachodzi:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Dlatego znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem. Przykład: gdy $\alpha=50^\circ$ i $\beta=60^\circ$, to $\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$.

Podział trójkątów ze względu na boki

  • Równoboczny — trzy równe boki, każdy kąt ma $60^\circ$
  • Równoramienny — dwa równe boki (ramiona), kąty przy podstawie są równe
  • Różnoboczny — wszystkie boki różnej długości

Podział trójkątów ze względu na kąty

  • Ostrokątny — wszystkie kąty ostre
  • Prostokątny — jeden kąt prosty
  • Rozwartokątny — jeden kąt rozwarty

Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty — dwa takie kąty przekroczyłyby już sumę $180^\circ$.

Na co uważać

W trójkącie równoramiennym równe są kąty przy podstawie, a nie dowolne dwa. Jeśli kąt między ramionami ma $40^\circ$, to na dwa pozostałe zostaje $140^\circ$, czyli po $70^\circ$ każdy.

Wzory 1

Proste prostopadłe i równoległe (klasa 4 SP)
$$a\parallel b,\qquad a\perp b$$

Co robi: zapisuje wzajemne położenie prostych.

Elementy: $\parallel$ — równoległe (nie przecinają się), $\perp$ — prostopadłe (kąt $90^\circ$).

🧩Quizy 2

Zadania 43

Zadanie nr 1

Kąt o mierze $90^\circ$ nazywamy:

A ostrym
B prostym
C rozwartym
D półpełnym
Zadanie nr 1

Która figura ma dwa końce?

A prosta
B odcinek
C półprosta
D punkt
Zadanie nr 2

Kąt ma miarę $47^\circ$. Jaki to rodzaj kąta i ile brakuje mu do kąta prostego?

Zadanie nr 2

Ile prostych można poprowadzić przez dwa różne punkty?

Zadanie nr 3

Dwa kąty są przyległe. Jeden ma $65^\circ$. Ile ma drugi?

Zadanie nr 3

Prostokąt ma boki $8$ cm i $5$ cm. Oblicz jego obwód i pole.

Zadanie nr 4

Ile stopni ma każdy kąt w trójkącie równobocznym?

A $90^\circ$
B $45^\circ$
C $60^\circ$
D $180^\circ$
Zadanie nr 4

Okrąg ma średnicę $12$ cm. Jaki jest jego promień?

A $24$ cm
B $12$ cm
C $6$ cm
D $3$ cm
Zadanie nr 5

W trójkącie dwa kąty mają $40^\circ$ i $75^\circ$. Ile ma trzeci?

Zadanie nr 5

Czym różni się prosta od odcinka?

Zadanie nr 6

Proste prostopadłe to takie, które:

A przecinają się pod kątem prostym
B nigdy się nie przecinają
C pokrywają się
D mają wspólny punkt początkowy
Zadanie nr 6

Kwadrat ma obwód $36$ cm. Jakie ma pole?

A $81$ cm$^2$
B $36$ cm$^2$
C $144$ cm$^2$
D $9$ cm$^2$
Zadanie nr 7

Trójkąt ma boki $5$ cm, $5$ cm i $8$ cm. Jaki to rodzaj trójkąta ze względu na boki? Oblicz jego obwód.

Zadanie nr 7

Narysowano okrąg o promieniu $4$ cm. Punkt $A$ leży w odległości $3$ cm od środka, a punkt $B$ w odległości $6$ cm. Który punkt leży wewnątrz koła?

Zadanie nr 8

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma $35^\circ$. Ile ma drugi kąt ostry?

Zadanie nr 8

Prostokąt ma pole $48$ cm$^2$ i jeden bok $6$ cm. Oblicz drugi bok i obwód.

Zadanie nr 9

Który trójkąt nie istnieje?

A o bokach $3$, $4$, $5$
B o bokach $6$, $6$, $6$
C o bokach $7$, $8$, $10$
D o bokach $2$, $3$, $9$
Zadanie nr 9

Ile odcinków wyznaczają trzy różne punkty leżące na jednej prostej?

A $1$
B $6$
C $2$
D $3$
Zadanie nr 10

Kąt $\alpha$ ma $38^\circ$. Podaj miarę kąta do niego wierzchołkowego oraz kąta przyległego.

Zadanie nr 10

Kwadrat ma bok $7$ cm. Ile wynosi jego obwód, a ile pole? Wyjaśnij, dlaczego jednostki są różne.

Zadanie nr 11

Ile kątów prostych ma prostokąt?

A $2$
B $4$
C $1$
D $3$
Zadanie nr 11

Które proste nigdy się nie przecinają?

A prostopadłe
B równoległe
C przecinające się pod kątem ostrym
D wszystkie się przecinają
Zadanie nr 12

Trójkąt równoramienny ma kąt między ramionami równy $50^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów.

Zadanie nr 12

Odcinek $AB$ ma $15$ cm. Punkt $C$ leży na tym odcinku, a $AC=6$ cm. Ile ma odcinek $CB$? Który punkt jest środkiem odcinka $AB$?

Zadanie nr 13

Odcinek $AB$ ma $12$ cm. Punkt $C$ leży na tym odcinku i dzieli go tak, że $AC$ jest trzy razy dłuższy od $CB$. Oblicz długości obu części.

Zadanie nr 13

Ile kwadratów o boku $2$ cm zmieści się w prostokącie $10$ cm na $6$ cm?

Zadanie nr 14

Kąt pełny ma:

A $90^\circ$
B $180^\circ$
C $360^\circ$
D $270^\circ$
Zadanie nr 14

Ile promieni ma okrąg?

A nieskończenie wiele
B jeden
C dwa
D cztery
Zadanie nr 15

Ile stopni ma kąt między wskazówkami zegara o godzinie $3{:}00$?

Zadanie nr 15

Prostokątny ogród ma wymiary $12$ m na $9$ m. Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie i ile metrów kwadratowych ma powierzchnia?

Zadanie nr 16

Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ jest:

A prostokątny i różnoboczny
B równoboczny
C rozwartokątny
D równoramienny
Zadanie nr 16

Cięciwa okręgu przechodząca przez środek to:

A promień
B styczna
C średnica
D łuk
Zadanie nr 17

W trójkącie kąty mają się jak $1:2:3$. Oblicz ich miary i określ rodzaj trójkąta.

Zadanie nr 17

Z prostokąta $10$ cm na $8$ cm wycięto kwadrat o boku $3$ cm. Oblicz pole pozostałej części. Czy obwód figury też się zmniejszył?

Zadanie nr 18

Ile stopni ma kąt między wskazówkami zegara o godzinie $5{:}00$? A ile o godzinie $8{:}00$?

Zadanie nr 18

Ile odcinków wyznacza pięć punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej?

Zadanie nr 19

Trójkąt równoramienny ma obwód $32$ cm, a jego podstawa mierzy $12$ cm. Oblicz długość ramienia.

Zadanie nr 19

Prostokąt ma obwód $30$ cm, a jeden bok jest o $3$ cm dłuższy od drugiego. Oblicz wymiary i pole.

Zadanie nr 20

Dwa kąty są przyległe, a jeden z nich jest cztery razy większy od drugiego. Oblicz miary obu kątów.

Zadanie nr 20

Podłogę o wymiarach $4$ m na $3$ m wykładamy kwadratowymi panelami o boku $50$ cm. Ile paneli potrzeba? Ile kosztuje wyłożenie, jeśli panel kosztuje $12$ zł?

Zadanie nr 6 · Egz. 8-kl. 2019
Na rysunku przedstawiono kształt i wymiary elementu układanki, w którym sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.

Matematyka jest prosta



Z takich elementów zbudowano dwie figury przedstawione na poniższym rysunku.

Matematyka jest prosta



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Obwód figury I jest o \(2b\) większy od obwodu figury II.
Pole figury II jest równe \(12a^2\).
Obwód figury I jest o \(2b\) większy od obwodu figury II.



Pole figury II jest równe \(12a^2\).



Zadanie nr 14 · Egz. 8-kl. 2013
W równoległoboku \(ABCD\) bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(AD\). Punkt \(K\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(L\) jest środkiem boku \(CD\).

Matematyka jest prosta



Oceń prawdziwość podanych zdań. Trójkąt \(ABL\) ma takie samo pole, jak trójkąt \(ABD\).
Pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(AKD\).
Trójkąt \(ABL\) ma takie samo pole, jak trójkąt \(ABD\).



Pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(AKD\).



Zadanie nr 10 · Egz. 8-kl.
Witek ma trzy jednakowe prostopadłościenne klocki. W każdym z tych klocków dwie ściany są kwadratami, a cztery pozostałe – prostokątami. Z tych klocków zbudował figurę przedstawioną na rysunku.

Matematyka jest prosta



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Dłuższe krawędzie prostopadłościennego klocka mają po \(8cm\).
Objętość jednego klocka jest równa \(72cm^3\).
Dłuższe krawędzie prostopadłościennego klocka mają po \(8cm\).



Objętość jednego klocka jest równa \(72cm^3\).



Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas