Obliczenia zegarowe

Godzina ma $60$ minut, więc:

$$3\cdot60=180\ \text{minut}$$

Odpowiedź: C. $180$ minut.

Godzina ma $60$ minut:

$$2\cdot60=120$$

Uwaga: czas dzieli się szesćdziesiątkowo, a nie dziesiętnie — dlatego nie $100$.

Odpowiedź: B. $120$.

Jedna godzina to $60$ minut, więc:

$$2\cdot60=120\ \text{minut}$$

Uwaga: czas liczymy w systemie sześćdziesiątkowym, nie dziesiętnym — dlatego nie $100$.

Odpowiedź: B. $120$.

Krok 1 — zamieniamy minuty na godziny i minuty:

$$105\ \text{min}=1\ \text{h}\ 45\ \text{min}$$

Krok 2 — dodajemy godzinę:

$$16{:}30+1\ \text{h}=17{:}30$$

Krok 3 — dodajemy $45$ minut:

$$17{:}30+45\ \text{min}=18{:}15$$

(bo $30+45=75$ minut, czyli $1$ h $15$ min)

Odpowiedź: film skończył się o $18{:}15$.

Krok 1 — zamieniamy czas trwania:

$$95\ \text{min}=1\ \text{h}\ 35\ \text{min}$$

Krok 2 — dodajemy godzinę:

$$17{:}45+1\ \text{h}=18{:}45$$

Krok 3 — dodajemy minuty. $45+35=80$ min, czyli $1$ h $20$ min:

$$18{:}45+35\ \text{min}=19{:}20$$

Odpowiedź: o $19{:}20$.

Krok 1 — zamieniamy czas trwania:

$$95\ \text{min}=1\ \text{godz}\ 35\ \text{min}$$

Krok 2 — dodajemy do godziny rozpoczęcia:

$$17{:}30+1{:}35=19{:}05$$

Uwaga: $30+35=65$ minut, czyli $1$ godzina i $5$ minut — stąd przeniesienie do godzin.

Odpowiedź: o $19{:}05$.

Rok zwykły: luty ma $28$ dni.

Rok przestępny: luty ma $29$ dni.

Kiedy rok jest przestępny: gdy dzieli się przez $4$, ale pełne stulecia tylko wtedy, gdy dzielą się przez $400$. Dlatego rok $2000$ był przestępny, a $1900$ nie.

Odpowiedź: $29$ dni w roku przestępnym, $28$ w zwykłym.

Rok zwykły: $28$ dni.

Rok przestępny: $29$ dni.

Kiedy rok jest przestępny: gdy dzieli się przez $4$ (np. $2024$), z wyjątkiem pełnych stuleci niedzielących się przez $400$ — dlatego $1900$ nie był przestępny, a $2000$ był.

Odpowiedź: $29$ dni w przestępnym, $28$ w zwykłym.

W roku zwykłym luty ma $28$ dni, w przestępnym — $29$.

Kiedy rok jest przestępny: co do zasady co cztery lata, gdy liczba roku dzieli się przez $4$ (np. $2024$).

Odpowiedź: $29$ dni w przestępnym, $28$ w zwykłym.

Odejmujemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$50{,}00-34{,}60=15{,}40\ \text{zł}$$

Sprawdzenie dodawaniem: $34{,}60+15{,}40=50{,}00$ ✔

Odpowiedź: B. $15{,}40$ zł.

Część ułamkową mnożymy przez $60$:

$$0{,}5\cdot60=30\ \text{min}$$

$$2\ \text{h}\ 30\ \text{min}=120+30=150\ \text{min}$$

Pułapka: $2{,}5$ h to nie $2$ h $50$ min.

Odpowiedź: C. $150$ min.

Krok 1 — suma zakupów:

$$4{,}50+3{,}20=7{,}70\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-7{,}70=2{,}30\ \text{zł}$$

Odpowiedź: C. $2{,}30$ zł.

Dodajemy oba czasy:

$$45+10=55\ \text{minut}$$

Ciekawostka: $55$ minut to niecała godzina — brakuje jeszcze $5$ minut.

Odpowiedź: $55$ minut.

Krok 1 — razem:

$$4{,}50+3{,}20=7{,}70\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-7{,}70=2{,}30\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $2{,}30$ zł.

Jedna minuta to $60$ sekund:

$$3\cdot60=180\ \text{sekund}$$

Odpowiedź: $180$ sekund.

Liczymy miesiące po kolei: styczeń ($1$), luty ($2$), marzec ($3$), kwiecień ($4$), maj ($5$), czerwiec ($6$), lipiec ($7$), sierpień ($8$), wrzesień ($9$), październik ($10$).

Odpowiedź: D. październik.

Tydzień to $7$ dób po $24$ godziny:

$$7\cdot24=168$$

Odpowiedź: A. $168$.

Krok 1 — dodajemy godziny:

$$8{:}45+2\ \text{godz}=10{:}45$$

Krok 2 — dodajemy minuty:

$$10{:}45+40\ \text{min}$$

$$45+40=85\ \text{min}=1\ \text{godz}\ 25\ \text{min}$$

$$10{:}45+40\ \text{min}=11{:}25$$

Uwaga: zapis $10{:}85$ jest niepoprawny — minut nie może być więcej niż $59$.

Odpowiedź: A. $11{:}25$.

Krok 1 — dodajemy pełne godziny:

$$7{:}40+3\ \text{h}=10{:}40$$

Krok 2 — dodajemy minuty:

$$40+35=75\ \text{minut}=1\ \text{h}\ 15\ \text{min}$$

$$10{:}40+35\ \text{min}=11{:}15$$

Uwaga: gdy suma minut przekroczy $59$, zamieniamy $60$ minut na godzinę. Zapis $10{:}75$ nie istnieje.

Odpowiedź: pociąg przyjedzie o $11{:}15$.

Krok 1 — do pełnej godziny:

$$8{:}40\ \to\ 9{:}00 \quad\text{to } 20\ \text{min}$$

Krok 2 — pełne godziny:

$$9{:}00\ \to\ 12{:}00 \quad\text{to } 3\ \text{h}$$

Krok 3 — reszta:

$$12{:}00\ \to\ 12{:}15 \quad\text{to } 15\ \text{min}$$

Krok 4 — razem:

$$20+15=35\ \text{min},\qquad \text{czyli } 3\ \text{h}\ 35\ \text{min}$$

Odpowiedź: $3$ godziny $35$ minut.

Krok 1 — trzy lekcje i dwie przerwy między nimi:

$$3\cdot45+2\cdot10=135+20=155\ \text{min}$$

Krok 2 — zamiana na godziny:

$$155\ \text{min}=2\ \text{godz}\ 35\ \text{min}$$

Krok 3 — dodajemy do $8{:}00$:

$$8{:}00+2{:}35=10{:}35$$

Uwaga: między trzema lekcjami są tylko dwie przerwy, nie trzy. Trzecia przerwa jest już po trzeciej lekcji.

Odpowiedź: o $10{:}35$.

Mnożymy cenę przez liczbę biletów:

$$4\cdot12{,}50=50\ \text{zł}$$

Sposób w pamięci: $4\cdot12=48$ oraz $4\cdot0{,}50=2$, razem $50$ zł.

Odpowiedź: $50$ zł.

Krok 1 — ile dni minęło:

$$15-1=14\ \text{dni}$$

Krok 2 — pełne tygodnie:

$$14:7=2 \ \text{tygodnie, reszta } 0$$

Reszta zero oznacza ten sam dzień tygodnia.

Odpowiedź: poniedziałek.

Krok 1 — do końca marca:

$$31-15=16\ \text{dni}$$

Krok 2 — ile dni zostaje na kwiecień:

$$40-16=24\ \text{dni}$$

Krok 3 — data. Dwudziesty czwarty dzień kwietnia to $24$ kwietnia.

Uwaga: od $15$ marca $16$ dni to koniec marca ($31$), więc pozostałe $24$ dni odliczamy już w kwietniu.

Odpowiedź: $24$ kwietnia.

Podstawowe jednostki czasu:

• tydzień $=7$ dni
• doba $=24$ godziny
• godzina $=60$ minut
• minuta $=60$ sekund

Odpowiedź: A.

Złotówka ma $100$ groszy:

$$7{,}05\cdot100=705\ \text{gr}$$

Uwaga na zero: $7{,}05$ zł to $7$ zł i $5$ groszy, a nie $50$ groszy.

Odpowiedź: D. $705$ gr.

Jedna złotówka to $100$ groszy, więc:

$$3{,}75\ \text{zł}=3{,}75\cdot100=375\ \text{groszy}$$

Odpowiedź: D. $375$ groszy.

Krok 1 — łączny koszt zakupów:

$$34+6{,}50=40{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — ile zostało:

$$80-40{,}50=39{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40{,}50+39{,}50=80$ zł ✔

Odpowiedź: Ali zostało $39{,}50$ zł.

Krok 1 — do końca marca:

$$31-25=6\ \text{dni}$$

Krok 2 — w kwietniu:

$$8\ \text{dni}$$

Krok 3 — razem:

$$6+8=14\ \text{dni}$$

Odpowiedź: $14$ dni.

Krok 1 — suma wydatków:

$$12+6{,}50+24{,}90=43{,}40\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$50-43{,}40=6{,}60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $6{,}60$ zł.

Doba ma $24$ godziny, więc:

$$3\cdot24=72\ \text{godziny}$$

Odpowiedź: C. $72$ godziny.

Krok 1 — do północy:

$$24-19=5\ \text{godzin}$$

Krok 2 — po północy:

$$7-5=2\ \text{godziny}$$

Doba ma $24$ godziny, więc po $24{:}00$ liczymy od nowa.

Odpowiedź: B. $2{:}00$.

Doba ma $24$ godziny, więc po północy zaczynamy liczyć od zera:

$$22{:}00+3\ \text{godz}=25{:}00-24{:}00=1{:}00$$

Uwaga: nie ma godziny $25{:}00$ — po $23{:}59$ następuje $0{:}00$ (północ) nowego dnia.

Odpowiedź: B. $1{:}00$.

Krok 1 — pełne godziny. Od $8{:}15$ do $13{:}15$ mija $5$ godzin.

Krok 2 — pozostałe minuty. Od $13{:}15$ do $13{:}45$ mija $30$ minut.

Krok 3 — razem:

$$5\ \text{h}\ 30\ \text{min}$$

Wskazówka: najpierw dolicz pełne godziny, dopiero potem minuty — to prostsze niż odejmowanie „w słupku” godzin i minut naraz.

Odpowiedź: zajęcia trwają $5$ godzin $30$ minut.

Krok 1 — bilety ulgowe:

$$3\cdot12{,}50=37{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — bilety normalne:

$$2\cdot25=50\ \text{zł}$$

Krok 3 — razem:

$$37{,}50+50=87{,}50\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $87{,}50$ zł.

Tydzień ma $7$ dni, więc dzielimy z resztą:

$$45:7=6\ \text{reszty}\ 3$$

$$45=6\cdot7+3$$

To $6$ tygodni i $3$ dni.

Sprawdzenie: $6\cdot7+3=42+3=45$ ✔

Odpowiedź: $6$ tygodni i $3$ dni.

Krok 1 — wykorzystujemy cykl tygodniowy. Co $7$ dni wraca ten sam dzień tygodnia, więc dzielimy z resztą:

$$10:7=1 \text{ reszty } 3$$

Krok 2 — liczy się tylko reszta. Po pełnym tygodniu znów jest poniedziałek, a potem doliczamy $3$ dni:

$$\text{poniedziałek} \to \text{wtorek} \to \text{środa} \to \text{czwartek}$$

Odpowiedź: za $10$ dni będzie czwartek.

Krok 1 — pół godziny w minutach:

$$30\ \text{min}$$

Krok 2 — na sekundy:

$$30\cdot60=1800\ \text{s}$$

Odpowiedź: $1800$ sekund.

Krok 1 — od $6{:}30$ do $21{:}30$ minęłoby $15$ godzin.

Krok 2 — ale zamykają o $21{:}00$, czyli $30$ minut wcześniej:

$$15\ \text{godz}-30\ \text{min}=14\ \text{godz}\ 30\ \text{min}$$

Sposób sprawdzenia: od $6{:}30$ do $20{:}30$ to $14$ godzin, a do $21{:}00$ jeszcze $30$ minut — razem $14$ godz $30$ min ✔

Odpowiedź: $14$ godzin $30$ minut.

Aby użyć jak najmniej nominałów, zaczynamy od największych.

$$23=20+2+1$$

To trzy elementy — mniej się nie da.

Porównanie: wariant A to $5$ elementów, D to $7$, a C aż $23$.

Odpowiedź: B.

Miesiące $31$-dniowe: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień — siedem miesięcy.

Miesiące $30$-dniowe: kwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad.

Luty: $28$ lub $29$ dni.

Sprawdzenie: $7\cdot31+4\cdot30+28=217+120+28=365$ ✔

Odpowiedź: C. styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień.

Krok 1 — bilet dziecka:

$$18:2=9\ \text{zł}$$

Krok 2 — dwoje dorosłych:

$$2\cdot18=36\ \text{zł}$$

Krok 3 — dwoje dzieci:

$$2\cdot9=18\ \text{zł}$$

Krok 4 — razem:

$$36+18=54\ \text{zł}$$

Odpowiedź: C. $54$ zł.

Wypisujemy liczby dni w kolejnych miesiącach:

• styczeń — $31$
• luty — $28$ (rok zwykły)
• marzec — $31$
• kwiecień — $30$
• maj — $31$
• czerwiec — $30$

Sumujemy:

$$31+28+31+30+31+30=181$$

Kontrola: cały rok ma $365$ dni, więc drugie półrocze ma $365-181=184$ dni.

Odpowiedź: $181$ dni.

Krok 1 — łączny czas:

$$3\cdot12=36\ \text{godzin}$$

Krok 2 — doby:

$$36:24=1 \ \text{doba i } 12\ \text{godzin}$$

Odpowiedź: $36$ godzin, czyli $1$ doba i $12$ godzin.

Krok 1 — luty w roku zwykłym ma $28$ dni, więc po $28$ lutego następuje od razu $1$ marca — to $1$ dzień.

Krok 2 — liczymy dalej:

$$28\ \text{lut}\to1\ \text{mar}\to2\to3\to4\to5\ \text{mar}$$

To $5$ kroków, czyli $5$ dni.

Uwaga: w roku przestępnym byłby jeszcze $29$ lutego, więc odpowiedź wynosiłaby $6$ dni. Rok ma tu znaczenie.

Odpowiedź: $5$ dni.

Krok 1 — zamieniamy minuty na sekundy:

$$2\cdot60=120\ \text{sekund}$$

Krok 2 — dodajemy pozostałe sekundy:

$$120+30=150\ \text{sekund}$$

Pułapka: odpowiedź B ($230$) to zwykłe „sklejenie” cyfr $2$ i $30$ — trzeba przeliczyć przez $60$, a nie przez $100$.

Odpowiedź: A. $150$ sekund.

$$50-34{,}80=15{,}20\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $34{,}80+15{,}20=50$ zł ✔

Odpowiedź: A. $15{,}20$ zł.

Kwadrans to $15$ minut, czyli $\frac14$ godziny — w każdej godzinie mieszczą się $4$ kwadranse:

$$3\cdot4=12$$

Odpowiedź: A. $12$.

Krok 1 — bilety dorosłe:

$$3\cdot28=84\ \text{zł}$$

Krok 2 — bilety ulgowe:

$$2\cdot15=30\ \text{zł}$$

Krok 3 — razem:

$$84+30=114\ \text{zł}$$

Odpowiedź: rodzina zapłaciła $114$ zł.

Krok 1 — ile odstępów. Od pierwszego do piątego są cztery odstępy, nie pięć:

$$4\cdot25=100\ \text{min}$$

Krok 2 — zamiana:

$$100\ \text{min}=1\ \text{h}\ 40\ \text{min}$$

Krok 3 — godzina odjazdu:

$$6{:}00+1\ \text{h}\ 40\ \text{min}=7{:}40$$

Sprawdzenie: $6{:}00$, $6{:}25$, $6{:}50$, $7{:}15$, $7{:}40$ ✔

Odpowiedź: o $7{:}40$.

Krok 1 — ile odstępów. Między pierwszym a szóstym autobusem jest pięć odstępów, nie sześć:

$$6-1=5\ \text{odstępów}$$

Krok 2 — łączny czas:

$$5\cdot20=100\ \text{min}=1\ \text{godz}\ 40\ \text{min}$$

Krok 3 — godzina odjazdu:

$$6{:}00+1{:}40=7{:}40$$

Klasyczna pułapka. Pierwszy autobus odjeżdża o czasie zero, więc do szóstego mija pięć odstępów. Mnożenie przez $6$ dałoby błędne $8{:}00$.

Odpowiedź: o $7{:}40$.

Krok 1 — do pełnej godziny:

$$15{:}00-14{:}50=10\ \text{minut}$$

Krok 2 — od pełnej godziny do celu:

$$15{:}20-15{:}00=20\ \text{minut}$$

Krok 3 — razem:

$$10+20=30\ \text{minut}$$

Wskazówka: przejście „przez pełną godzinę” jest prostsze niż odejmowanie w słupku, bo unikamy pożyczania $60$ minut.

Odpowiedź: za $30$ minut.

Krok 1 — oszczędności:

$$15\cdot8=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — porównanie z ceną:

$$120<150$$

Krok 3 — brakująca kwota:

$$150-120=30\ \text{zł}$$

Dodatkowo: $30:15=2$, więc potrzeba jeszcze dwóch tygodni.

Odpowiedź: zaoszczędzi $120$ zł — nie wystarczy, zabraknie $30$ zł.

Krok 1 — łączna liczba godzin:

$$8+6+7=21\ \text{godzin}$$

Krok 2 — zarobek:

$$21\cdot30=630\ \text{zł}$$

Sposób alternatywny. Można liczyć dzień po dniu: $240+180+210=630$ zł — ten sam wynik. Sumowanie godzin najpierw jest szybsze.

Odpowiedź: $630$ zł.

Krok 1 — całkowity czas wycieczki. Od $9{:}00$ do $16{:}30$:

$$7\ \text{h}\ 30\ \text{min}$$

Krok 2 — łączny czas przerw:

$$2\cdot20=40\ \text{minut}$$

Krok 3 — odejmujemy przerwy. Zamieniamy $7$ h $30$ min na $6$ h $90$ min, żeby móc odjąć minuty:

$$6\ \text{h}\ 90\ \text{min}-40\ \text{min}=6\ \text{h}\ 50\ \text{min}$$

Odpowiedź: zwiedzanie trwało $6$ godzin $50$ minut.

Krok 1 — co składa się na czas. Do końca czwartej lekcji mija $4$ lekcje i $3$ przerwy (po ostatniej lekcji przerwy już nie liczymy):

$$4\cdot45=180\ \text{min},\qquad 3\cdot10=30\ \text{min}$$

Krok 2 — razem:

$$180+30=210\ \text{min}=3\ \text{h}\ 30\ \text{min}$$

Krok 3 — godzina zakończenia:

$$8{:}00+3\ \text{h}\ 30\ \text{min}=11{:}30$$

Najczęstszy błąd: policzenie czterech przerw zamiast trzech — dałoby $11{:}40$.

Odpowiedź: o $11{:}30$.

Krok 1 — pełne godziny od $9{:}15$ do $14{:}15$:

$$14{:}15-9{:}15=5\ \text{godzin}$$

Krok 2 — ale koniec to $14{:}05$, czyli $10$ minut wcześniej:

$$5\ \text{godz}-10\ \text{min}=4\ \text{godz}\ 50\ \text{min}$$

Krok 3 — zamiana na minuty:

$$4\cdot60+50=290\ \text{min}$$

Sprawdzenie. Od $9{:}15$ dodajemy $290$ min $=4$ godz $50$ min: $9{:}15\to13{:}15\to14{:}05$ ✔

Odpowiedź: $4$ godz $50$ min, czyli $290$ minut.

Krok 1 — liczba tygodni:

$$540:15=36\ \text{tygodni}$$

Krok 2 — zamiana na miesiące. Miesiąc to około $4$ tygodnie:

$$36:4=9\ \text{miesięcy}$$

Sprawdzenie: $36\cdot15=540$ zł ✔

Uwaga: wynik w miesiącach jest przybliżony, bo miesiące mają po $4$ lub trochę ponad $4$ tygodnie.

Odpowiedź: $36$ tygodni, czyli około $9$ miesięcy.

Krok 1 — liczba dni. Liczymy oba końce, więc dodajemy jedynkę:

$$19-5+1=15\ \text{dni}$$

Krok 2 — liczba nocy. Nocy jest zawsze o jedną mniej niż dni — ostatniego dnia uczestnicy wracają:

$$15-1=14\ \text{nocy}$$

Sprawdzenie na małym przykładzie: wyjazd od $5$ do $6$ lipca to $2$ dni i $1$ noc ✔

Odpowiedź: $15$ dni i $14$ nocy.

Zasada. Aby użyć jak najmniej sztuk, bierzemy zawsze największy nominał, który się mieści.

Krok po kroku:

$$37=20+10+5+2$$

• $20$ zł — jeden banknot, zostaje $17$ zł
• $10$ zł — jeden banknot, zostaje $7$ zł
• $5$ zł — jedna moneta, zostaje $2$ zł
• $2$ zł — jedna moneta, zostaje $0$

Razem $4$ sztuki.

Dlaczego nie inaczej. Gdybyśmy zaczęli od mniejszych nominałów, sztuk byłoby więcej — np. same monety $1$ zł to aż $37$ sztuk. Metoda „od największego” daje minimum.

Odpowiedź: $4$ sztuki ($20+10+5+2$).