$|x+4|=7$ oznacza $x+4=7$ lub $x+4=-7$, czyli $x_{1}=3$, $x_{2}=-11$.

Suma: $3+(-11)=-8$.

Odpowiedź: B.

$\sqrt[5]{5}\cdot\dfrac{1}{5}=5^{\frac{1}{5}}\cdot 5^{-1}=5^{\frac{1}{5}-1}=5^{-\frac{4}{5}}$.

$\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5}=5^{-\frac{4}{5}\cdot(-5)}=5^{4}$.

Odpowiedź: A.

Zapisujemy wszystkie składniki jako potęgi liczby $2$: $4^{49}=\left(2^{2}\right)^{49}=2^{98}$ oraz $16^{24}=\left(2^{4}\right)^{24}=2^{96}$.

$2^{100}+2^{98}+2^{96}=2^{96}\left(2^{4}+2^{2}+1\right)=2^{96}\cdot(16+4+1)=2^{96}\cdot 21$.

Liczba $2^{96}$ jest całkowita, więc iloczyn $2^{96}\cdot 21$ jest podzielny przez $21$. $\square$

$6\log_{7}y=\log_{7}y^{6}$, więc $\log_{7}x+\log_{7}y^{6}=\log_{7}\left(x\cdot y^{6}\right)$.

Odpowiedź: D.

$60\,000\cdot(1+p)^{2}=67\,925,76$, stąd $(1+p)^{2}=\dfrac{67\,925,76}{60\,000}=1,132096$.

$1+p=\sqrt{1,132096}=1,064$, więc $p=0,064=6,4\%$.

Odpowiedź: B.

$\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{x+1}{3x^{2}}=\dfrac{x}{(x-1)\cdot 3x^{2}}=\dfrac{1}{3x(x-1)}=\dfrac{1}{3x^{2}-3x}$.

Odpowiedź: B.

Z pierwszego równania: $-a+18=20\Rightarrow a=-2$. Z drugiego: $-1+6b=5\Rightarrow b=1$.

$a\cdot b=-2\cdot 1=-2$.

Odpowiedź: A.

Założenie: $x-1\ne 0$ i $2x-2\ne 0$, czyli $x\ne 1$.

Ponieważ $2x-2=2(x-1)$, mnożymy obie strony przez $2(x-1)$: $2(x+3)=x$.

$2x+6=x\Rightarrow x=-6$. Warunek $x\ne 1$ jest spełniony.

$x^{2}-6x-7\le 0$. $\Delta=36+28=64$, $\sqrt{\Delta}=8$, więc $x_{1}=\dfrac{6-8}{2}=-1$, $x_{2}=\dfrac{6+8}{2}=7$.

Ramiona paraboli skierowane w górę, więc nierówność $\le 0$ zachodzi dla $x\in\langle -1,\,7\rangle$.

1. Dziedzina: $(-4,-2\rangle\cup(-2,2\rangle\cup(2,4\rangle=(-4,\,4\rangle$.

2. Zbiór wartości: część stała daje $3$; $-x+1$ na $(-2,2\rangle$ przyjmuje wartości od $3$ (bez) do $-1$ (włącznie); $x-3$ na $(2,4\rangle$ — od $-1$ (bez) do $1$ (włącznie). Łącznie $\langle -1,\,3\rangle$.

3. $f(x)<0$: $-x+1<0\Leftrightarrow x>1$ (na $(-2,2\rangle$ daje $(1,2\rangle$), a $x-3<0\Leftrightarrow x<3$ (na $(2,4\rangle$ daje $(2,3)$). Łącznie przedział $(1,\,3)$.

4. Największa wartość $=3$ jest przyjmowana na przedziale $(-4,\,-2\rangle$ (na pozostałych częściach wartość $3$ nie jest osiągana).

$f(x)=ax+4$ oraz $f(2)=0$, więc $2a+4=0\Rightarrow a=-2$, zatem $f(x)=-2x+4$.

1. Prawda. Współczynnik kierunkowy to $-2$.

2. Fałsz. Trójkąt ma wierzchołki $(0,0),(2,0),(0,4)$, więc pole $=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$, a nie $8$.

Odpowiedź: P, F.

Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-3)^{2}$; z $f(0)=-9$ mamy $9a=-9$, więc $a=-1$ (ramiona w dół).

Parabola o ramionach w dół maleje na prawo od wierzchołka, czyli w przedziale $\langle 3,+\infty)$.

Odpowiedź: D.

Postać kanoniczna: $f(x)=-(x-3)^{2}$ — to B.

Postać ogólna: $-(x-3)^{2}=-\left(x^{2}-6x+9\right)=-x^{2}+6x-9$ — to D.

Odpowiedź: B, D.

$g(x)=-(x-3)^{2}-1$, wierzchołek $(3,-1)$, ramiona w dół — największa wartość to $-1<0$.

1. Fałsz. Skoro wartości $g$ są zawsze ujemne, funkcja nie ma miejsc zerowych.

2. Prawda. Przesunięcie w pionie nie zmienia osi symetrii: $x=3$.

Odpowiedź: F, P.

1. Fałsz. $f(36)=\log_{6}36=2$ (bo $6^{2}=36$), a nie $6$.

2. Prawda. Podstawa $6>1$, więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca.

Odpowiedź: F, P.

Kolejne wyrazy: $a_{1}=3\cdot(-1)+10=7$, $a_{2}=3\cdot 1+10=13$, $a_{3}=7$, $a_{4}=13,\dots$ (naprzemiennie $7$ i $13$).

1. Fałsz. Iloraz $\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{13}{7}$, a $\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{7}{13}$ — różne, więc ciąg nie jest geometryczny.

2. Prawda. Wśród ośmiu wyrazów są cztery „$7$" i cztery „$13$": $4\cdot 7+4\cdot 13=28+52=80$.

Odpowiedź: F, P.

Warunek: $2(4+2m)=5m+m$, czyli $8+4m=6m$, stąd $2m=8$ i $m=4$.

Odpowiedź: D.

Iloraz: $q=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{1/9}{1/6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.

$a_{5}=a_{3}\cdot q^{2}=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{81}$.

Odpowiedź: C.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przeciwprostokątną jest $BC=8$, a naprzeciw kąta $ABC$ leży $AC=\sqrt{15}$.

$\sin(\angle ABC)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}$.

Odpowiedź: D.

Najpierw $AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{64-15}=\sqrt{49}=7$, więc $AD=AB-BD=7-6=1$.

W trójkącie prostokątnym $ACD$ (kąt prosty przy $A$): $\operatorname{tg}(\angle ADC)=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{\sqrt{15}}{1}=\sqrt{15}$.

Odpowiedź: A.

$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\dfrac{3}{16}=\dfrac{13}{16}$, więc $|\cos\alpha|=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.

Kąt jest rozwarty, więc cosinus jest ujemny: $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.

Odpowiedź: A.

W trójkącie prostokątnym $ACB$ (kąt prosty przy $C$): $|BC|=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{7,5^{2}-6^{2}}=\sqrt{56,25-36}=\sqrt{20,25}=4,5$, a $\cos(\angle CAB)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{7,5}=0,8$ (więc $\sin(\angle CAB)=0,6$).

Ponieważ $DC\parallel AB$, kąt $DCA=\angle CAB$ (kąty naprzemianległe). W trójkącie prostokątnym $ACD$ (kąt prosty przy $D$): wysokość trapezu $AD=AC\cdot\sin(\angle DCA)=6\cdot 0,6=3,6$ oraz krótsza podstawa $DC=AC\cdot\cos(\angle DCA)=6\cdot 0,8=4,8$.

Pole trapezu: $P=\dfrac{(AB+DC)}{2}\cdot AD=\dfrac{(7,5+4,8)}{2}\cdot 3,6=\dfrac{12,3}{2}\cdot 3,6=6,15\cdot 3,6=22,14$.

Kąt środkowy oparty na łuku $AB$ jest dwa razy większy od wpisanego: $2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}$.

Długość łuku: $\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\cdot 6=\dfrac{1}{3}\cdot 12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: B.

Przekątna: $|AC|=\sqrt{(3+2)^{2}+(4+1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Bok kwadratu: $a=\dfrac{\text{przekątna}}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$.

Odpowiedź: A.

Prosta $l$ jest równoległa do $k$, więc ma współczynnik $-7$; przecina $Oy$ w $(0,6)$, więc $l:\ y=-7x+6$.

Dla $x=1$: $p=-7\cdot 1+6=-1$.

Odpowiedź: B.

Okrąg nie ma punktów wspólnych z osiami, gdy odległość środka od każdej osi jest większa od promienia.

$o_{3}$: środek $(3,4)$, promień $2$. Odległość od osi $Oy$ to $3>2$, od osi $Ox$ to $4>2$ — brak punktów wspólnych.

(Pozostałe okręgi mają odległość środka od którejś osi $\le$ promień, więc ją przecinają lub są do niej styczne.)

Odpowiedź: C.

Apotema podstawy (odległość środka podstawy od krawędzi) to $\dfrac{4}{2}=2$. Kąt nachylenia ściany bocznej spełnia $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{H}{2}$.

$\dfrac{H}{2}=3\Rightarrow H=6$.

Odpowiedź: B.

Trzy kolejne parzyste liczby, w których największa to $p$, to $p-4,\ p-2,\ p$.

$V=(p-4)(p-2)p=p\left(p^{2}-6p+8\right)=p^{3}-6p^{2}+8p$.

Odpowiedź: D.

Z objętości: $\dfrac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 2=8\pi\Rightarrow r^{2}=12\Rightarrow r=2\sqrt{3}$.

W przekroju osiowym połowa kąta rozwarcia $\beta$ spełnia $\operatorname{tg}\beta=\dfrac{r}{h}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, więc $\beta=60^{\circ}$.

Kąt rozwarcia stożka to $2\beta=120^{\circ}$.

Cyfra pierwsza (dziesiątki tysięcy) $\ne 0$, więc ma $3$ możliwości ($1,2,3$). Trzy środkowe cyfry mają po $4$ możliwości ($0,1,2,3$). Cyfra jedności musi być nieparzysta: $1$ lub $3$ — $2$ możliwości.

Łącznie: $3\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 2=384$.

Odpowiedź: B.

Wszystkich par jest $6\cdot 4=24$.

Iloczyn jest podzielny przez $4$ w przypadkach:

• $d=8$ (podzielne przez $4$): dowolne $c$ — $6$ par;

• $d=10=2\cdot 5$: iloczyn podzielny przez $4$, gdy $c$ jest parzyste ($c\in\{2,4,6\}$) — $3$ pary;

• $d=7$ lub $d=9$ (nieparzyste): potrzeba $c$ podzielnego przez $4$, czyli $c=4$ — po $1$ parze, razem $2$ pary.

Zdarzeń sprzyjających: $6+3+2=11$, więc $P(A)=\dfrac{11}{24}$.

1. Średnia: $\dfrac{4\cdot 5+5\cdot 8+6\cdot 12+7\cdot 13+8\cdot 12}{50}=\dfrac{20+40+72+91+96}{50}=\dfrac{319}{50}=6,38$.

2. Mediana: dla $50$ uczniów to średnia $25.$ i $26.$ wartości. Liczności skumulowane: do $6$ książek — $25$ uczniów, do $7$ — $38$. Zatem $25.$ wartość to $6$, a $26.$ to $7$: mediana $=\dfrac{6+7}{2}=6,5$.

Krawędzie z wierzchołka $A$: $AB=x$, $AE=3x$ oraz $AD=y$. Suma $12$ krawędzi: $4(x+3x+y)=48$, stąd $4x+y=12$, czyli $y=12-4x$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $3x$, $(12-4x)$:

$P(x)=2\big(x\cdot 3x+x(12-4x)+3x(12-4x)\big)=2\big(3x^{2}+12x-4x^{2}+36x-12x^{2}\big)=2\big(-13x^{2}+48x\big)=-26x^{2}+96x$.

Dziedzina: $x>0$ oraz $y=12-4x>0\Rightarrow x<3$, czyli $x\in(0,\,3)$.

Funkcja kwadratowa o ramionach w dół osiąga największą wartość w wierzchołku: $x=\dfrac{-96}{2\cdot(-26)}=\dfrac{96}{52}=\dfrac{24}{13}$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni całkowitej jest największe dla $x=\dfrac{24}{13}$.