Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\) jest równe:

A \(\frac{1}{7}\)
B \(\frac{4}{7}\)
C \(\frac{1}{14}\)
D \(\frac{3}{7}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych. Losujemy dwa wierzchołki, przy czym wiadomo, że muszą to być dwa różne. Pierwszy wierzchołek możemy wylosować na osiem sposobów (od \(A\) do \(H\)), a drugi na siedem (bez tego, co jest pierwszym wierzchołkiem). W związku z tym \(|Ω|=8\cdot7=56\). Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających. Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosujemy taką parę wierzchołków, która buduje przekątną sześcianu. No i tu największa pułapka, bowiem w sześcianie możemy wyróżnić cztery jednakowe przekątne: Ale to, że są cztery przekątne, nie oznacza, że są cztery zdarzenia sprzyjające, bo tak przykładowo - przekątną \(BH\) otrzymamy zarówno losując zestaw \((B;H)\) jak i \((H;B)\). Wypiszmy sobie zatem zdarzenia sprzyjające: $$(A;G), (G;A) \           ,\ (B;H), (H;B) \           ,\ (C;E), (E;C) \           ,\ (D;F), (F;D)$$ Z rozpiski wynika, że mamy \(8\) zdarzeń sprzyjających, zatem \(|A|=8\). Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru: $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania