W każdym n-kącie wypukłym (\(n\ge3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków jest:

A siedmiokąt
B dziesięciokąt
C dwunastokąt
D piętnastokąt

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie równania. Chcemy, by liczba przekątnych była o \(25\) większa od liczby boków, więc musimy rozwiązać następujące równanie: $$n+25=\frac{n(n-3)}{2} \           ,\ 2n+50=n(n-3) \           ,\ 2n+50=n^2-3n \           ,\ -n^2+5n+50=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=-1,\;b=5,\;c=50\) $$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-1)\cdot50=25-(-200)=225 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{225}=15$$ $$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-15}{2\cdot(-1)}=\frac{-20}{-2}=10 \           ,\ n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+15}{2\cdot(-1)}=\frac{10}{2}=-5$$ Ujemny wynik musimy odrzucić, bo liczba kątów w wielokącie jest dodatnia, zatem zostaje nam \(n=10\). To oznacza, że poszukiwanym wielokątem jest dziesięciokąt.

Teoria:      
W trakcie opracowania