Funkcja liniowa \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla argumentu \(0\), a ponadto \(f(4)-f(2)=6\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(f(x)=3x+2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\). Z treści zadania dość niepozornie wynika informacja, że współczynnik \(b=2\). Skąd to wiemy? Jedną z własności funkcji liniowych jest to, że współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). W zadania wiemy, że funkcja przyjmuje wartość \(y=2\) dla argumentu \(x=0\), a przecież jest to właśnie punkt przecięcia się z osią \(OY\). Stąd też płynie wniosek, że \(b=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to do tego samego wniosku dojdziemy podstawiając \(x=0\) oraz \(y=2\) do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), zatem: $$2=a\cdot0+b \           ,\ 2=0+b \           ,\ b=2$$ To oznacza, że nasza funkcja liniowa wyraża się wzorem \(f(x)=ax+2\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\). Z treści zadania wynika, że \(f(4)-f(2)=6\). Wiemy już, że naszą funkcję da się zapisać jako \(f(x)=ax+2\), więc: $$f(4)=a\cdot4+2=4a+2 \           ,\ f(2)=a\cdot2+2=2a+2$$ Podstawiając teraz tę informację do różnicy \(f(4)-f(2)=6\), otrzymamy: $$4a+2-(2a+2)=6 \           ,\ 4a+2-2a-2=6 \           ,\ 2a=6 \           ,\ a=3$$ To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=3x+2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania