Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Miary kątów \(SBC, BCD, CDA\) są odpowiednio równe \(SBC=60°\), \(BCD=110°\), \(CDA=90°\). Wynika stąd, że miara \(\alpha\) kąta \(DAS\) jest równa:

A \(25°\)
B \(30°\)
C \(35°\)
D \(40°\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Kluczem do sukcesu jest połączenie punktów \(S\) oraz \(C\), dzięki któremu uzyskamy trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny: A skąd właściwie wiadomo, że trójkąt \(SBC\) jest równoboczny? Odcinki o długości \(CS\) oraz \(BS\) są równe długości promienia okręgu, więc już na pewno wiemy, że ten trójkąt jest przynajmniej równoramienny o podstawie \(BC\). Kąty przy podstawie w trójkątach równoramiennych mają jednakową miarę, zatem i kąt \(BCS=60°\), a więc i trzeci kąt \(CSB=60°\). To jeszcze powiedzmy sobie skąd wiemy, że odcinek \(CS\) leży na tej samej prostej co \(SA\) (bo tak prawdę mówiąc, to nie jest to do końca takie oczywiste, że powstanie nam tutaj trójkąt \(ACD\)). Możemy być tego pewni, ponieważ mamy tutaj klasyczną sytuację, w której kąt prosty jest kątem wpisanym, zatem musi on się opierać na średnicy okręgu. Stąd też możemy mieć pewność, że powstaje nam trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest właśnie średnica okręgu. Krok 2. Obliczenie miary kąta \(DCS\). Zgodnie z informacją wynikającą z rysunku możemy stwierdzić, że: $$|\sphericalangle DCS|=110°-60°=50°$$ Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\). Spoglądamy teraz na trójkąt \(CDA\). Znamy już miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem: $$\alpha=180°-90°-50°$$

Teoria:      
W trakcie opracowania