Ile liczb całkowitych należy do zbioru rozwiązań nierówności \(x-1\le\frac{x(x-1)-x^2}{2}\le1\)?

A \(0\)
B \(1\)
C \(2\)
D \(3\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
W tym przykładzie dobrze jest na początku wymnożyć licznik naszego ułamka i uprościć w ten sposób cały zapis: $$x-1\le\frac{x(x-1)-x^2}{2}\le1 \           ,\ x-1\le\frac{x^2-x-x^2}{2}\le1 \           ,\ x-1\le\frac{-x}{2}\le1$$ Teraz możemy dla przejrzystości działań rozbić ten zapis na dwie nierówności: $$x-1\le\frac{-x}{2} \quad\land\quad \frac{-x}{2}\le1 \           ,\ 2x-2\le-x \quad\land\quad -x\le2 \           ,\ 3x-2\le0 \quad\land\quad x\ge-2 \           ,\ 3x\le2 \quad\land\quad x\ge-2 \           ,\ x\le\frac{2}{3} \quad\land\quad x\ge-2$$ Szukamy więc liczb całkowitych, które są mniejsze lub równe od \(\frac{2}{3}\) i jednocześnie większe lub równe niż \(-2\). Istnieją tylko trzy takie liczby: \(-2,-1,0\).

Teoria:      
W trakcie opracowania