Ciąg \(b_{n}\) jest określony wzorem \(b_{n}=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \(b_{n}\) jest równa:

A \(14\)
B \(13\)
C \(9\)
D \(8\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie nierówności. Aby sprawdzić ile jest wyrazów niedodatnich (czyli ujemnych lub równych zero) musimy sprawdzić kiedy \(3n^2-25n\) będzie mniejsze lub równe \(0\). W związku z tym musimy rozwiązać nierówność: $$3n^2-25n\le0$$ Krok 2. Rozwiązanie nierówności. Możemy tę nierówność rozwiązać korzystając z delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale znacznie prościej będzie będzie po prostu wyłączyć \(n\) przed nawias: $$n(3n-25)\le0$$ Teraz do rozwiązania nierówności musimy wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić kiedy \(n(3n-25)\) jest równe \(0\). Wystarczy więc przyrównać \(n\) oraz \(3n-25\) do zera: $$n=0 \quad\lor\quad 3n-25=0 \           ,\ n=0 \quad\lor\quad 3n=25 \           ,\ n=0 \quad\lor\quad n=8\frac{1}{3}$$ Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli (ramiona paraboli będą skierowane do góry): Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znajduje się pod osią lub na osi. To oznacza, że \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Krok 3. Ustalenie liczby niedodatnich wyrazów. Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną \(n\ge1\). Zastanówmy się więc, jakie liczby mieszczą się w przedziale \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Będą to: $$1,2,3,4,5,6,7,8$$ To oznacza, że nasz ciąg ma \(8\) wyrazów niedodatnich.

Teoria:      
W trakcie opracowania