Skracanie i rozszerzanie ułamków

Dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tutaj przez $3$:

$$\frac{6:3}{9:3}=\frac23$$

Zapamiętaj: skracanie nie zmienia wartości ułamka, tylko jego zapis.

Odpowiedź: C. $\frac23$.

Krok 1 — przez ile mnożymy mianownik:

$$20:5=4$$

Krok 2 — mnożymy licznik i mianownik przez $4$:

$$\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$

Odpowiedź: $\frac{12}{20}$.

Mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \frac57>\frac37$$

Dlaczego tak: obie całości podzielono na tyle samo części, a w drugim ułamku bierzemy ich więcej.

Odpowiedź: $\frac57$.

Liczniki są równe, więc decyduje mianownik — ale odwrotnie niż przy licznikach.

Im większy mianownik, tym na więcej części dzielimy całość, więc każda część jest mniejsza:

$$\frac14>\frac16$$

Obrazowo: ćwiartka tortu to więcej niż jedna szósta tego samego tortu.

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Krok 1 — szukamy największego wspólnego dzielnika. Dla $12$ i $18$ jest to $6$.

Krok 2 — dzielimy:

$$\frac{12:6}{18:6}=\frac23$$

Sprawdzenie: $2$ i $3$ nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$ — ułamek jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac23$.

Ułamek równa się połowie, gdy licznik jest dwa razy mniejszy od mianownika:

$$\frac{5}{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac12$$

Pozostałe: $\frac46=\frac23$, a $\frac25$ i $\frac35$ nie skracają się do połowy.

Odpowiedź: D. $\frac{5}{10}$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejsza liczba dzieląca się przez $3$ i $4$ to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy oba ułamki:

$$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porównujemy liczniki:

$$9>8 \quad\Rightarrow\quad \frac34>\frac23$$

Odpowiedź: $\frac34$ jest większy.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku. Dopisanie zera na końcu nie zmienia wartości:

$$0{,}7=0{,}70$$

Krok 2 — porównujemy:

$$0{,}70>0{,}65$$

Częsty błąd: uznanie $0{,}65$ za większe, bo „ma więcej cyfr”. Liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: $0{,}7$ jest większy.

Największy wspólny dzielnik $8$ i $12$ to $4$:

$$\frac{8:4}{12:4}=\frac23$$

Uwaga: $\frac46$ jest równe $\frac23$, ale nie jest jeszcze skrócone do końca.

Odpowiedź: B. $\frac23$.

Wszystkie mają licznik $1$, więc decyduje mianownik — im większy, tym ułamek mniejszy.

Porządkujemy mianowniki malejąco: $8$, $5$, $3$, $2$.

$$\frac18<\frac15<\frac13<\frac12$$

Odpowiedź: $\frac18$, $\frac15$, $\frac13$, $\frac12$.

Ułamek niewłaściwy ma licznik większy lub równy mianownikowi — jego wartość jest co najmniej $1$.

$$7>4 \quad\Rightarrow\quad \frac74 \ \text{jest niewłaściwy}$$

$$\frac74=1\frac34$$

Odpowiedź: C. $\frac74$.

Krok 1 — wspólny mianownik: $12$.

Krok 2 — rozszerzamy:

$$\frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{4}{12}>\frac{3}{12} \quad\Rightarrow\quad \frac13>\frac14$$

Odpowiedź: $\frac13$ jest większy.

Krok 1 — wspólny mianownik. Sprowadzamy do ósemek:

$$\frac14=\frac{2}{8}$$

Krok 2 — porównanie:

$$\frac38>\frac28$$

Odpowiedź: więcej zjadła Ania.

Największy wspólny dzielnik $15$ i $25$ to $5$:

$$\frac{15:5}{25:5}=\frac35$$

Odpowiedź: A. $\frac35$.

Ułamek o mianowniku $10$ zapisujemy z jedną cyfrą po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Liczba $0{,}25$ ma dwie cyfry po przecinku, więc mianownik to $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: $0{,}7$ oraz $\frac14$.

Ułamek jest nieskracalny, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.

Liczby $7$ i $9$ takiego dzielnika nie mają.

Pozostałe skracają się: $\frac68=\frac34$, $\frac{9}{12}=\frac34$, $\frac{10}{15}=\frac23$.

Odpowiedź: D. $\frac79$.

Krok 1 — przez ile rozszerzamy:

$$35:5=7$$

Krok 2 — tym samym mnożymy licznik:

$$4\cdot7=28$$

$$\frac45=\frac{28}{35}$$

Dlaczego to działa: mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę to w istocie mnożenie ułamka przez $1$ zapisane jako $\frac77$ — wartość się nie zmienia.

Sprawdzenie skracaniem: $\frac{28}{35}$ podzielone przez $7$ daje z powrotem $\frac45$ ✔

Odpowiedź: licznik $28$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Szukamy liczby dzielącej się przez $3$, $6$, $2$ i $4$ — to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy wszystkie:

$$\frac23=\frac{8}{12},\quad \frac56=\frac{10}{12},\quad \frac12=\frac{6}{12},\quad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porządkujemy liczniki:

$$6<8<9<10$$

Krok 4 — wracamy do postaci wyjściowej:

$$\frac12<\frac23<\frac34<\frac56$$

Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$, $\frac56$.

Krok 1 — liczba dziewcząt. Dzielimy klasę na $5$ części po $6$ osób:

$$30:5=6,\qquad 3\cdot6=18\ \text{dziewcząt}$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 3 — jaką część stanowią:

$$\frac{12}{30}=\frac{12:6}{30:6}=\frac25$$

Kontrola: $\frac35+\frac25=\frac55=1$ ✔ — obie grupy dają całość.

Odpowiedź: $12$ chłopców, czyli $\frac25$ klasy.

Krok 1 — wspólny mianownik:

$$\frac14=\frac{2}{8},\qquad \frac12=\frac{4}{8}$$

Krok 2 — środek. Między licznikami $2$ i $4$ leży $3$:

$$\frac{3}{8}$$

Krok 3 — sprawdzenie. Ułamek $\frac38$ jest nieskracalny ($3$ i $8$ nie mają wspólnego dzielnika) oraz spełnia:

$$\frac28<\frac38<\frac48 \ ✔$$

Inna droga. Środek to średnia obu liczb:

$$\left(\frac14+\frac12\right):2=\frac34:2=\frac38 \ ✔$$

Odpowiedź: $\frac38$.