Prostokąt i kwadrat

Kąt ostry jest mniejszy od $90^\circ$. Skoro $45^\circ<90^\circ$, kąt jest ostry.

Zestawienie: ostry $<90^\circ$, prosty $=90^\circ$, rozwarty między $90^\circ$ a $180^\circ$, półpełny $=180^\circ$, pełny $=360^\circ$.

Odpowiedź: B. ostrym.

Odcinek ma dwa końce i określoną długość.

Prosta nie ma końców i jest nieskończona w obie strony.

Półprosta ma jeden koniec (początek) i biegnie w nieskończoność w jedną stronę.

Odpowiedź: B. odcinek.

Obwód to suma długości wszystkich boków. Prostokąt ma dwa boki po $7$ cm i dwa po $5$ cm:

$$O=2\cdot7+2\cdot5=14+10=24\ \text{cm}$$

Krótszy zapis: $O=2(a+b)=2\cdot12=24$ cm.

Odpowiedź: $24$ cm.

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Dla porównania: przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

Odpowiedź: dokładnie jedną.

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków:

$$P=a\cdot b=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostki: pole podajemy w cm$^2$, a obwód w cm — to dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

Obwód:

$$O=2(8+5)=26\ \text{cm}$$

Pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: obwód $26$ cm, pole $40$ cm$^2$.

W każdym trójkącie, niezależnie od jego kształtu, suma kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$.

Zastosowanie: znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Promień to połowa średnicy:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $6$ cm.

Pole — kwadrat ma równe boki:

$$P=a\cdot a=8\cdot8=64\ \text{cm}^2$$

Obwód — cztery jednakowe boki:

$$O=4\cdot8=32\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $64$ cm$^2$, obwód $32$ cm.

Prosta nie ma początku ani końca — biegnie w nieskończoność w obie strony. Nie da się zmierzyć jej długości.

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami. Ma określoną długość, którą można zmierzyć linijką.

Odpowiedź: prosta jest nieskończona, odcinek ma dwa końce i mierzalną długość.

Podział ze względu na boki:

• równoboczny — trzy boki równe
• równoramienny — dwa boki równe
• różnoboczny — wszystkie boki różne

Nazwa „prostokątny” dotyczy podziału ze względu na kąty, a nie boki.

Odpowiedź: A. różnobocznym.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $81$ cm$^2$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Jeden z kątów ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ciekawostka: trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego — pojawia się w wielu zadaniach.

Odpowiedź: trzeci kąt ma $60^\circ$; trójkąt jest prostokątny.

Zasada. Punkt leży wewnątrz koła, gdy jego odległość od środka jest mniejsza od promienia.

Punkt $A$: $3<4$ — leży wewnątrz ✔

Punkt $B$: $6>4$ — leży na zewnątrz ✘

Uwaga: punkt oddalony dokładnie o $4$ cm leżałby na okręgu.

Odpowiedź: punkt $A$.

Krok 1 — długość boku. Kwadrat ma cztery równe boki:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Kolejność ma znaczenie: pola nie da się policzyć wprost z obwodu — najpierw trzeba wyznaczyć bok.

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81$ cm$^2$.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=48:6=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie pola: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

Symbol $\perp$ oznacza prostopadłość (przecięcie pod kątem $90^\circ$), a $\parallel$ — równoległość.

Jak zapamiętać: znak $\parallel$ to dwie równoległe kreski, a $\perp$ wygląda jak dwie prostopadłe.

Odpowiedź: D. $\perp$.

Oznaczmy punkty jako $A$, $B$, $C$. Odcinki to każda para punktów:

$$AB,\qquad BC,\qquad AC$$

Są trzy takie pary.

Uwaga: $AB$ i $BA$ to ten sam odcinek, więc nie liczymy go dwa razy.

Odpowiedź: D. $3$.

Krok 1 — drugi bok. Z wzoru $P=a\cdot b$:

$$b=\frac{48}{6}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=2\cdot14=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

Obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Pole:

$$P=7\cdot7=49\ \text{cm}^2$$

Dlaczego różne jednostki. Obwód to długość linii — mierzymy go w centymetrach. Pole to powierzchnia — liczymy, ile kwadracików o boku $1$ cm mieści się w figurze, więc jednostką jest cm$^2$.

Odpowiedź: obwód $28$ cm, pole $49$ cm$^2$.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, a ich suma wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Proste równoległe zachowują stałą odległość i nie mają punktów wspólnych. Oznaczamy je symbolem $\parallel$.

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem $90^\circ$ — oznaczamy je $\perp$.

Odpowiedź: B. równoległe.

Długość płotu to obwód:

$$O=2(12+8)=2\cdot20=40\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot8=96\ \text{m}^2$$

Rozróżnienie: płot mierzymy wzdłuż brzegu (obwód, metry), a powierzchnię liczymy wewnątrz (pole, metry kwadratowe).

Odpowiedź: $40$ m płotu, powierzchnia $96$ m$^2$.

Krok 1 — długość $CB$:

$$15-6=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — czy $C$ jest środkiem. Środek dzieliłby odcinek na dwie równe części po $7{,}5$ cm. Tutaj $6\neq9$, więc $C$ nie jest środkiem — środek leży w odległości $7{,}5$ cm od $A$.

Odpowiedź: $CB=9$ cm; $C$ nie jest środkiem.

Kąt półpełny to połowa kąta pełnego:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Jego ramiona tworzą prostą.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Sposób 1 — liczymy wzdłuż boków:

$$10:2=5,\qquad 6:2=3$$

$$5\cdot3=15\ \text{kwadratów}$$

Sposób 2 — przez pola:

$$\frac{10\cdot6}{2\cdot2}=\frac{60}{4}=15 \ ✔$$

Uwaga: oba sposoby dają ten sam wynik, bo wymiary dzielą się przez $2$ bez reszty. Gdyby tak nie było, drugi sposób zawyżyłby wynik.

Odpowiedź: $15$ kwadratów.

Krok 1 — bok kwadratu. Szukamy liczby, której kwadrat daje $36$:

$$a=6\ \text{cm},\qquad O_{kw}=4\cdot6=24\ \text{cm}$$

Krok 2 — drugi bok prostokąta:

$$36:4=9\ \text{cm},\qquad O_{pr}=2(4+9)=26\ \text{cm}$$

Porównanie: $24<26$, więc kwadrat ma mniejszy obwód.

Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym polu najmniejszy obwód ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: kwadrat $24$ cm, prostokąt $26$ cm — kwadrat ma obwód mniejszy o $2$ cm.

Promień to odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu. Punktów na okręgu jest nieskończenie wiele, więc promieni również.

Ważne: wszystkie promienie jednego okręgu mają tę samą długość — na tym polega definicja okręgu.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Krok 1 — suma ramion. Odejmujemy podstawę od obwodu:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię. Ramiona są równe, więc dzielimy przez $2$:

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10+10+12=32$ cm ✔

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Siatka to obwód:

$$O=2(12+9)=42\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot9=108\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $42$ m siatki, powierzchnia $108$ m$^2$.

Pole kwadratu to bok razy bok:

$$P=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($48$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: A. $144$ cm$^2$.

Średnica to najdłuższa cięciwa — jedyna, która przechodzi przez środek okręgu.

Jest dwa razy dłuższa od promienia: $d=2r$.

Odpowiedź: C. średnica.

Krok 1 — powierzchnia podłogi:

$$P=5\cdot4=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$20\cdot45=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: położenie paneli kosztuje $900$ zł.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot8=80\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole wycięcia:

$$P_2=3\cdot3=9\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pozostała część:

$$80-9=71\ \text{cm}^2$$

Czy obwód się zmniejszył. Nie — jeśli kwadrat wycięto z rogu, obwód pozostaje taki sam. Usuwamy dwa odcinki po $3$ cm z brzegu, ale w ich miejsce pojawiają się dwa nowe odcinki po $3$ cm wewnątrz wcięcia. Bilans wynosi zero.

Odpowiedź: pole $71$ cm$^2$; obwód się nie zmienił.

Pole figury złożonej to suma pól jej części.

Krok 1 — pola prostokątów:

$$P_1=6\cdot4=24\ \text{cm}^2,\qquad P_2=3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — suma:

$$P=24+12=36\ \text{cm}^2$$

Warunek: prostokąty nie mogą na siebie zachodzić — inaczej wspólny fragment policzylibyśmy dwa razy.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

Krok 1 — z każdego punktu. Z jednego punktu prowadzimy odcinki do czterech pozostałych:

$$5\cdot4=20$$

Krok 2 — dzielimy przez dwa. Każdy odcinek policzyliśmy dwukrotnie — raz z jednego końca, raz z drugiego:

$$\frac{20}{2}=10$$

Sprawdzenie dla trzech punktów: wzór daje $\frac{3\cdot2}{2}=3$, co zgadza się z wypisaniem $AB$, $BC$, $AC$ ✔

Odpowiedź: $10$ odcinków.

Krok 1 — od obwodu do sumy sąsiednich boków:

$$2(a+b)=30 \quad\Rightarrow\quad a+b=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wykorzystujemy warunek. Długość to dwie takie same części co szerokość, więc suma to $3$ części:

$$15:3=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — wymiary: szerokość $5$ cm, długość $2\cdot5=10$ cm.

Krok 4 — pole:

$$P=10\cdot5=50\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(10+5)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $10$ cm na $5$ cm, pole $50$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$30:2=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wyznaczamy krótszy bok. Gdyby oba boki były równe, miałyby po $7{,}5$ cm. Nadwyżka $3$ cm rozkłada się po połowie:

$$\text{krótszy}=\frac{15-3}{2}=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — dłuższy bok:

$$6+3=9\ \text{cm}$$

Krok 4 — pole:

$$P=6\cdot9=54\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(6+9)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $6$ cm na $9$ cm, pole $54$ cm$^2$.

Krok 1 — pole. Od pola kartki odejmujemy pole wycięcia:

$$P=10\cdot10-3\cdot3=100-9=91\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — obwód. Tu intuicja bywa myląca. Wycięcie w rogu usuwa z brzegu dwa odcinki po $3$ cm, ale dokłada dwa nowe odcinki po $3$ cm (boki wycięcia).

$$O=4\cdot10-2\cdot3+2\cdot3=40\ \text{cm}$$

Wniosek: pole zmalało, ale obwód pozostał taki sam jak przed wycięciem. To dobry przykład na to, że pole i obwód zmieniają się niezależnie.

Odpowiedź: pole $91$ cm$^2$, obwód $40$ cm.

Krok 1 — wymiary w tych samych jednostkach:

$$4\ \text{m}=400\ \text{cm},\qquad 3\ \text{m}=300\ \text{cm}$$

Krok 2 — liczba paneli wzdłuż każdego boku:

$$400:50=8,\qquad 300:50=6$$

Krok 3 — łączna liczba:

$$8\cdot6=48\ \text{paneli}$$

Krok 4 — koszt:

$$48\cdot12=576\ \text{zł}$$

Kontrola przez pola: podłoga ma $12$ m$^2$, panel $0{,}25$ m$^2$, a $12:0{,}25=48$ ✔

Odpowiedź: $48$ paneli za $576$ zł.