Pole prostokąta i kwadratu

Kąt ostry jest mniejszy od $90^\circ$. Skoro $45^\circ\lt 90^\circ$, kąt jest ostry.

Zestawienie: ostry $\lt 90^\circ$, prosty $=90^\circ$, rozwarty między $90^\circ$ a $180^\circ$, półpełny $=180^\circ$, pełny $=360^\circ$.

Odpowiedź: B. ostrym.

Obwód to suma długości wszystkich boków. Prostokąt ma dwa boki po $7$ cm i dwa po $5$ cm:

$$O=2\cdot7+2\cdot5=14+10=24\ \text{cm}$$

Krótszy zapis: $O=2(a+b)=2\cdot12=24$ cm.

Odpowiedź: $24$ cm.

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków:

$$P=a\cdot b=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostki: pole podajemy w cm$^2$, a obwód w cm — to dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

W każdym trójkącie, niezależnie od jego kształtu, suma kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$.

Zastosowanie: znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Pole — kwadrat ma równe boki:

$$P=a\cdot a=8\cdot8=64\ \text{cm}^2$$

Obwód — cztery jednakowe boki:

$$O=4\cdot8=32\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $64$ cm$^2$, obwód $32$ cm.

Podział ze względu na boki:

• równoboczny — trzy boki równe
• równoramienny — dwa boki równe
• różnoboczny — wszystkie boki różne

Nazwa „prostokątny” dotyczy podziału ze względu na kąty, a nie boki.

Odpowiedź: A. różnobocznym.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Jeden z kątów ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ciekawostka: trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego — pojawia się w wielu zadaniach.

Odpowiedź: trzeci kąt ma $60^\circ$; trójkąt jest prostokątny.

Krok 1 — długość boku. Kwadrat ma cztery równe boki:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Kolejność ma znaczenie: pola nie da się policzyć wprost z obwodu — najpierw trzeba wyznaczyć bok.

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81$ cm$^2$.

Symbol $\perp$ oznacza prostopadłość (przecięcie pod kątem $90^\circ$), a $\parallel$ — równoległość.

Jak zapamiętać: znak $\parallel$ to dwie równoległe kreski, a $\perp$ wygląda jak dwie prostopadłe.

Odpowiedź: D. $\perp$.

Krok 1 — drugi bok. Z wzoru $P=a\cdot b$:

$$b=\frac{48}{6}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=2\cdot14=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, a ich suma wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Długość płotu to obwód:

$$O=2(12+8)=2\cdot20=40\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot8=96\ \text{m}^2$$

Rozróżnienie: płot mierzymy wzdłuż brzegu (obwód, metry), a powierzchnię liczymy wewnątrz (pole, metry kwadratowe).

Odpowiedź: $40$ m płotu, powierzchnia $96$ m$^2$.

Kąt półpełny to połowa kąta pełnego:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Jego ramiona tworzą prostą.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Krok 1 — bok kwadratu. Szukamy liczby, której kwadrat daje $36$:

$$a=6\ \text{cm},\qquad O_{kw}=4\cdot6=24\ \text{cm}$$

Krok 2 — drugi bok prostokąta:

$$36:4=9\ \text{cm},\qquad O_{pr}=2(4+9)=26\ \text{cm}$$

Porównanie: $24\lt 26$, więc kwadrat ma mniejszy obwód.

Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym polu najmniejszy obwód ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: kwadrat $24$ cm, prostokąt $26$ cm — kwadrat ma obwód mniejszy o $2$ cm.

Krok 1 — suma ramion. Odejmujemy podstawę od obwodu:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię. Ramiona są równe, więc dzielimy przez $2$:

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10+10+12=32$ cm ✔

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Pole kwadratu to bok razy bok:

$$P=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($48$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: A. $144$ cm$^2$.

Krok 1 — powierzchnia podłogi:

$$P=5\cdot4=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$20\cdot45=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: położenie paneli kosztuje $900$ zł.

Pole figury złożonej to suma pól jej części.

Krok 1 — pola prostokątów:

$$P_1=6\cdot4=24\ \text{cm}^2,\qquad P_2=3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — suma:

$$P=24+12=36\ \text{cm}^2$$

Warunek: prostokąty nie mogą na siebie zachodzić — inaczej wspólny fragment policzylibyśmy dwa razy.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

Krok 1 — od obwodu do sumy sąsiednich boków:

$$2(a+b)=30 \quad\Rightarrow\quad a+b=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wykorzystujemy warunek. Długość to dwie takie same części co szerokość, więc suma to $3$ części:

$$15:3=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — wymiary: szerokość $5$ cm, długość $2\cdot5=10$ cm.

Krok 4 — pole:

$$P=10\cdot5=50\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(10+5)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $10$ cm na $5$ cm, pole $50$ cm$^2$.

Krok 1 — pole. Od pola kartki odejmujemy pole wycięcia:

$$P=10\cdot10-3\cdot3=100-9=91\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — obwód. Tu intuicja bywa myląca. Wycięcie w rogu usuwa z brzegu dwa odcinki po $3$ cm, ale dokłada dwa nowe odcinki po $3$ cm (boki wycięcia).

$$O=4\cdot10-2\cdot3+2\cdot3=40\ \text{cm}$$

Wniosek: pole zmalało, ale obwód pozostał taki sam jak przed wycięciem. To dobry przykład na to, że pole i obwód zmieniają się niezależnie.

Odpowiedź: pole $91$ cm$^2$, obwód $40$ cm.

Kwadrat ma cztery równe boki:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Pułapka: odpowiedź C ($49$) to pole, a nie obwód.

Odpowiedź: B. $28$ cm.

$$P=a\cdot a=7\cdot7=49\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostkę: pole zapisujemy w cm$^2$, obwód w cm.

Odpowiedź: $49$ cm$^2$.

Prostokąt ma dwa boki po $9$ cm i dwa po $4$ cm:

$$O=2\cdot9+2\cdot4=18+8=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

Kwadrat o boku $1$ m to kwadrat o boku $100$ cm:

$$1\ \text{m}^2=100\cdot100=10\,000\ \text{cm}^2$$

Uwaga: przy jednostkach pola przelicznik jest kwadratem przelicznika długości — nie $100$, lecz $10\,000$.

Odpowiedź: A. $10\,000$.

$$P=12\cdot5=60\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Obwód to cztery jednakowe boki, więc dzielimy:

$$a=32:4=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $4\cdot8=32$ cm ✔

Odpowiedź: C. $8$ cm.

Dzielimy przez przelicznik:

$$500:100=5\ \text{arów}$$

Odpowiedź: $5$ arów.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=56:8=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(8+7)=30\ \text{cm}$$

Sprawdzenie pola: $8\cdot7=56$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $7$ cm, obwód $30$ cm.

$$30\,000:10\,000=3\ \text{ha}$$

Odpowiedź: D. $3$ ha.

Obwód:

$$O=2(40+25)=2\cdot65=130\ \text{m}$$

Pole:

$$P=40\cdot25=1000\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: obwód $130$ m, pole $1000$ m$^2$.

Pole prostokąta: $7\cdot3=21$ cm$^2$.

Bok kwadratu: $20:4=5$ cm, więc pole $=25$ cm$^2$.

Kwadrat ma większe pole ($25>21$).

Reguła: spośród prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: B. kwadrat.

Krok 1 — wymiary powstałego prostokąta. Trzy kwadraty w rzędzie tworzą prostokąt $12$ cm na $4$ cm.

Krok 2 — obwód:

$$O=2(12+4)=32\ \text{cm}$$

Uwaga: obwód nie jest sumą obwodów trzech kwadratów ($48$ cm) — boki stykowe znajdują się wewnątrz figury i nie liczą się do obwodu.

Odpowiedź: $32$ cm.

Krok 1 — pole podłogi w centymetrach kwadratowych. Zamieniamy metry na cm: $200$ cm na $300$ cm:

$$P=200\cdot300=60\,000\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole jednego kafelka:

$$20\cdot20=400\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — liczba kafelków:

$$60\,000:400=150$$

Odpowiedź: potrzeba $150$ kafelków.

$$70\,000:10\,000=7\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $7$ m$^2$.

Siatka to obwód:

$$O=4\cdot15=60\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=15\cdot15=225\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $60$ m siatki, powierzchnia $225$ m$^2$.

Sprawdzamy iloczyny:

$$6\cdot6=36 \ ✔,\qquad 9\cdot4=36 \ ✔,\qquad 12\cdot3=36 \ ✔$$

$$8\cdot5=40\neq36$$

Odpowiedź: C. $8$ cm i $5$ cm.

Krok 1 — powierzchnia podłogi:

$$P=4\cdot5=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$20\cdot39=780\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $780$ zł.

Krok 1 — pole dużego kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole wycięcia:

$$P_2=4\cdot4=16\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-16=84\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $84$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$36:2=18\ \text{cm}$$

Krok 2 — podział. Krótszy bok to $1$ część, dłuższy $2$ części, razem $3$:

$$18:3=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — wymiary: $6$ cm i $2\cdot6=12$ cm.

Krok 4 — pole:

$$P=6\cdot12=72\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(6+12)=36$ cm ✔

Odpowiedź: $6$ cm na $12$ cm, pole $72$ cm$^2$.

Krok 1 — pole całej działki:

$$P=50\cdot40=2000\ \text{m}^2$$

Krok 2 — powierzchnia ogrodu:

$$\frac14\cdot2000=500\ \text{m}^2$$

Krok 3 — zamiana na ary ($1$ ar $=100$ m$^2$):

$$500:100=5\ \text{arów}$$

Odpowiedź: ogród ma $5$ arów.