Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Mianownik $10$ oznacza jedno miejsce po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Reguła: mianownik $10$ to jedno miejsce, $100$ — dwa, $1000$ — trzy.

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Mianownik $10$ oznacza jedną cyfrę po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Podobnie: mianownik $100$ daje dwie cyfry ($\frac{7}{100}=0{,}07$), a $1000$ — trzy.

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Dodajemy wyrównując przecinki:

$$0{,}3+0{,}4=0{,}7$$

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Mianownik $100$ oznacza dwa miejsca po przecinku:

$$\frac{23}{100}=0{,}23$$

Odpowiedź: $0{,}23$.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku:

$$2{,}8=2{,}80$$

Krok 2 — dodajemy, pisząc przecinek pod przecinkiem:

$$3{,}45+2{,}80=6{,}25$$

Odpowiedź: $6{,}25$.

Wyrównujemy przecinki i dodajemy:

$$2{,}50+1{,}75=4{,}25$$

Odpowiedź: $4{,}25$.

Dodajemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$2{,}3+1{,}5=3{,}8$$

Odpowiedź: $3{,}8$.

Metr ma $100$ centymetrów:

$$2{,}5\cdot100=250\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $250$ cm.

$$5{,}6-2{,}8=2{,}8$$

Odpowiedź: $2{,}8$.

Uzupełniamy zerami do tej samej liczby miejsc:

$$0{,}50 \quad \text{i} \quad 0{,}45$$

Teraz porównujemy jak liczby całkowite: $50>45$, więc $0{,}5>0{,}45$.

Częsty błąd: uznanie $0{,}45$ za większą, „bo ma więcej cyfr”. Liczba cyfr nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: C. $0{,}5$.

Wyrównujemy zapis do trzech miejsc po przecinku:

$$0{,}900;\quad 0{,}850;\quad 0{,}089;\quad 0{,}099$$

Największa jest $0{,}900$.

Uwaga: liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości — $0{,}9$ jest większe od $0{,}85$, choć ma mniej cyfr.

Odpowiedź: A. $0{,}9$.

Mnożymy jak liczby całkowite ($2\cdot3=6$), suma miejsc po przecinku to $2$:

$$0{,}2\cdot0{,}3=0{,}06$$

Odpowiedź: C. $0{,}06$.

Odejmujemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$5{,}8-2{,}3=3{,}5$$

Odpowiedź: $3{,}5$.

Zapisujemy $10$ jako $10{,}00$ i odejmujemy pisemnie:

$$10{,}00-4{,}37=5{,}63$$

Sprawdzenie: $5{,}63+4{,}37=10$ ✔

Odpowiedź: $5{,}63$.

$$1{,}5\cdot4=6{,}0=6$$

Odpowiedź: $6$.

Druga cyfra po przecinku to setne, ale cała część ułamkowa $0{,}47$ to $\frac{47}{100}$, czyli $47$ setnych.

Rozbicie: $0{,}47=4$ dziesiąte $+7$ setnych $=47$ setnych.

Odpowiedź: A. $47$.

Kilogram ma $1000$ gramów:

$$1{,}25\cdot1000=1250\ \text{g}$$

Odpowiedź: D. $1250$ g.

$$2{,}4:2=1{,}2$$

Odpowiedź: A. $1{,}2$.

Jedno miejsce po przecinku oznacza mianownik $10$:

$$3{,}6=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}=3\frac35$$

Odpowiedź: $\frac{36}{10}=3\frac35$.

Liczba zer w mianowniku wyznacza liczbę miejsc po przecinku:

$$\frac{3}{100}=0{,}03$$

$$\frac{45}{100}=0{,}45$$

$$\frac{7}{1000}=0{,}007$$

Uwaga: w pierwszym i trzecim przypadku trzeba dopisać zera przed cyfrą znaczącą.

Odpowiedź: $0{,}03$; $0{,}45$; $0{,}007$.

Mnożenie przez $100$ przesuwa przecinek o $2$ miejsca w prawo:

$$0{,}75\cdot100=75$$

Odpowiedź: $75$.

Uzupełniamy zerem, aby liczby miały tyle samo miejsc:

$$4{,}25+3{,}80$$

Dodajemy:

$$4{,}25+3{,}80=8{,}05$$

Częsty błąd: potraktowanie $3{,}8$ jako $3{,}08$. Zero dopisujemy na końcu, bo $3{,}8=3{,}80$.

Odpowiedź: $8{,}05$.

Krok 1 — w metrach:

$$3\cdot1000+250=3250\ \text{m}$$

Krok 2 — w kilometrach:

$$3250:1000=3{,}25\ \text{km}$$

Odpowiedź: $3250$ m, czyli $3{,}25$ km.

Dzielenie przez $10$ przesuwa przecinek o $1$ miejsce w lewo:

$$3{,}6:10=0{,}36$$

Odpowiedź: $0{,}36$.

Uzupełniamy zerami: $0{,}30$; $0{,}25$; $0{,}50$.

Porównujemy: $25<30<50$, więc:

$$0{,}25<0{,}3<0{,}5$$

Odpowiedź: D.

$$0{,}4+0{,}6=1{,}0=1$$

Uwaga: cztery dziesiąte plus sześć dziesiątych daje dziesięć dziesiątych, czyli całość — nie $0{,}10$.

Odpowiedź: C. $1$.

$$0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: D. $\frac{1}{2}$.

Dodajemy ceny:

$$4{,}50+6{,}30=10{,}80\ \text{zł}$$

Odpowiedź: trzeba zapłacić $10{,}80$ zł.

Krok 1 — razem:

$$4{,}80+3{,}50=8{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-8{,}30=1{,}70\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłaciła $8{,}30$ zł, reszty $1{,}70$ zł.

Krok 1 — mnożymy dzielną i dzielnik przez $10$ (pozbywamy się przecinka w dzielniku):

$$4{,}2:0{,}6=42:6$$

Krok 2 — dzielimy:

$$42:6=7$$

Odpowiedź: $7$.

Rozszerzamy ułamek do mianownika $100$:

$$\frac14=\frac{25}{100}=0{,}25$$

Warto zapamiętać: $\frac12=0{,}5$, $\frac14=0{,}25$, $\frac34=0{,}75$.

Odpowiedź: B. $0{,}25$.

Centymetr ma $10$ milimetrów:

$$4{,}7\cdot10=47\ \text{mm}$$

Odpowiedź: B. $47$ mm.

$1\cdot1=1$, dwa miejsca po przecinku:

$$0{,}1\cdot0{,}1=0{,}01$$

Odpowiedź: B. $0{,}01$.

Uzupełniamy zerami:

$$10{,}0-3{,}7=6{,}3$$

Sprawdzenie: $6{,}3+3{,}7=10{,}0$ ✔

Odpowiedź: $6{,}3$.

Krok 1 — wyrównujemy do dwóch miejsc po przecinku:

$$0{,}50;\quad 0{,}45;\quad 0{,}54;\quad 0{,}05$$

Krok 2 — porównujemy jak liczby całkowite (setne części):

$$5<45<50<54$$

Krok 3 — wracamy do zapisu wyjściowego:

$$0{,}05<0{,}45<0{,}5<0{,}54$$

Odpowiedź: $0{,}05$; $0{,}45$; $0{,}5$; $0{,}54$.

Wyrównujemy przecinki ($10=10{,}00$):

$$10{,}00-3{,}45=6{,}55$$

Odpowiedź: $6{,}55$.

$1$ cm to $0{,}01$ m, więc $45$ cm $=0{,}45$ m:

$$3\ \text{m}\ 45\ \text{cm}=3{,}45\ \text{m}$$

Odpowiedź: $3{,}45$ m.

Krok 1 — na gramy:

$$0{,}75\cdot1000=750\ \text{g}$$

Krok 2 — na dekagramy ($1$ dag $=10$ g):

$$750:10=75\ \text{dag}$$

Skrót: $1$ kg $=100$ dag, więc $0{,}75\cdot100=75$ dag ✔

Odpowiedź: $75$ dag.

Dzielimy licznik przez mianownik:

$$3:4=0{,}75$$

Odpowiedź: $0{,}75$.

Szukamy liczby większej od $0{,}2$ i mniejszej od $0{,}3$.

$$0{,}2<0{,}25<0{,}3 \ ✔$$

Pozostałe leżą poza tym przedziałem.

Odpowiedź: A. $0{,}25$.

Krok 1 — dwie cyfry po przecinku dają mianownik $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}$$

Krok 2 — skracamy przez $25$:

$$\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Porównujemy cyframi po przecinku: $0{,}51>0{,}50>0{,}49>0{,}05$.

Odpowiedź: C. $0{,}51$.

Krok 1 — koszt zakupów:

$$3{,}50+2{,}80=6{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$20-6{,}30=13{,}70\ \text{zł}$$

Odpowiedź: Ali zostało $13{,}70$ zł.

Krok 1 — wyrównujemy:

$$7{,}20-3{,}85$$

Krok 2 — odejmujemy pisemnie z pożyczaniem:

$$7{,}20-3{,}85=3{,}35$$

Sprawdzenie: $3{,}35+3{,}85=7{,}20$ ✔

Odpowiedź: $3{,}35$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$2{,}5\cdot4=10$$

Krok 2 — dodawanie:

$$10+1{,}5=11{,}5$$

Odpowiedź: $11{,}5$.

Liczba $2{,}8$ to $2$ całości i $8$ dziesiątych. W całości mieszczą się $20$ dziesiątych, więc razem:

$$2{,}8=\frac{28}{10}=28 \text{ dziesiątych}$$

Odpowiedź: C. $28$.

Dzielimy przez $1000$:

$$2500:1000=2{,}5\ \text{kg}$$

Kontrola sensu: kilogram to więcej niż gram, więc liczba kilogramów musi być mniejsza od liczby gramów ✔

Odpowiedź: D. $2{,}5$ kg.

$$0{,}25\cdot4=1{,}00=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Uzupełniamy zerami do dwóch miejsc:

$$1{,}25+2{,}50+0{,}75$$

Dodajemy po kolei:

$$1{,}25+2{,}50=3{,}75,\qquad 3{,}75+0{,}75=4{,}50$$

Odpowiedź: $4{,}5$.

Krok 1 — wszystko w centymetrach:

$$2{,}4\ \text{m}=240\ \text{cm},\qquad 1{,}2\ \text{m}=120\ \text{cm}$$

Krok 2 — odcięta długość:

$$85+120=205\ \text{cm}$$

Krok 3 — reszta:

$$240-205=35\ \text{cm}$$

Kluczowa uwaga: przed dodawaniem trzeba sprowadzić wszystkie wielkości do tej samej jednostki. Dodanie „$85+1{,}2$” byłoby bez sensu.

Odpowiedź: zostało $35$ cm.

Mnożymy cenę przez masę:

$$2{,}5\cdot3{,}20=8{,}00=8\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $8$ zł.

„Trzy setne” to $0{,}03$ — trzeba pamiętać o zerze na miejscu dziesiątych:

$$2\ \text{całe}\ 3\ \text{setne}=2{,}03$$

Częsty błąd: zapis $2{,}3$ oznaczałby $2$ całe i $3$ dziesiąte — to co innego niż setne.

Odpowiedź: $2{,}03$.

Krok 1 — masa jednej paczki w gramach:

$$1000+350=1350\ \text{g}$$

Krok 2 — trzy paczki:

$$3\cdot1350=4050\ \text{g}$$

Krok 3 — na kilogramy:

$$4050:1000=4{,}05\ \text{kg}$$

Uwaga na zapis: $4{,}05$ kg to $4$ kg i $50$ g — zero po przecinku jest istotne. Zapis $4{,}5$ oznaczałby $4$ kg $500$ g.

Odpowiedź: $4{,}05$ kg.

Odejmujemy:

$$50{,}00-37{,}80=12{,}20\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $12{,}20$ zł reszty.

Krok 1 — dystans biegu:

$$3\cdot0{,}4=1{,}2\ \text{km}$$

Krok 2 — dodajemy marsz:

$$1{,}2+0{,}75=1{,}95\ \text{km}$$

Odpowiedź: Kasia pokonała łącznie $1{,}95$ km.

Krok 1 — długość odciętych kawałków:

$$3\cdot1{,}15=3{,}45\ \text{m}$$

Krok 2 — reszta:

$$5-3{,}45=1{,}55\ \text{m}$$

Krok 3 — zamiana na metry i centymetry:

$$1{,}55\ \text{m}=1\ \text{m}\ 55\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3{,}45+1{,}55=5$ m ✔

Odpowiedź: $1{,}55$ m, czyli $1$ m i $55$ cm.

Krok 1 — koszt $6$ butelek:

$$6\cdot2{,}40=14{,}40\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta z $20$ zł:

$$20{,}00-14{,}40=5{,}60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłacimy $14{,}40$ zł, reszta $5{,}60$ zł.

Krok 1 — suma opadów. Uzupełniamy zerami do dwóch miejsc:

$$2{,}40+0{,}80+3{,}25=6{,}45\ \text{mm}$$

Krok 2 — różnica między trzecim a drugim dniem:

$$3{,}25-0{,}80=2{,}45\ \text{mm}$$

Odpowiedź: łącznie $6{,}45$ mm; trzeciego dnia o $2{,}45$ mm więcej niż drugiego.

Krok 1 — szacunek. Zaokrąglamy cenę do $3{,}50$ zł:

$$2\cdot3{,}50=7\ \text{zł}$$

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$2\cdot3{,}49=6{,}98\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$7-6{,}98=0{,}02\ \text{zł}$$

Wniosek. Szacunek zawyżył wynik o $2$ grosze — bo cenę zaokrągliliśmy w górę o $1$ grosz, a kupujemy dwa kilogramy. Do sprawdzenia, czy wystarczy nam pieniędzy, taki szacunek w zupełności wystarcza.

Odpowiedź: zapłacimy $6{,}98$ zł; szacunek dawał $7$ zł.

Krok 1 — zapisujemy $0{,}1$ jako ułamek zwykły:

$$0{,}1=\frac{1}{10}$$

Krok 2 — mnożenie przez ułamek. Mnożenie przez $\frac{1}{10}$ to to samo, co dzielenie przez $10$:

$$a\cdot0{,}1=a\cdot\frac{1}{10}=\frac{a}{10}=a:10 \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $a=7$: $7\cdot0{,}1=0{,}7$ oraz $7:10=0{,}7$ — zgadza się ✔