Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołków łamanej:

\(A=(-3,-4)\), \(B=(-2,-4)\), \(C=(2,3)\), \(D=(4,3)\).

a) Najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), największa \(3\), a funkcja jest ciągła, więc

\(ZW=\langle-4,3\rangle\).

b) Szacujemy argument: \(3<\sqrt{10}<4\), więc \(1-\sqrt{10}\in(-3,-2)\). Na tym przedziale wykres jest poziomym odcinkiem \(AB\) o wartości \(-4\), zatem

\(f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4\).

c) Współczynnik kierunkowy prostej \(BC\):

\(a=\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)}=\dfrac74\).

Prosta przechodzi przez \(B=(-2,-4)\):

\(y+4=\tfrac74(x+2)\), czyli \(y=\dfrac74x-\dfrac12\).

d)

\(|BC|=\sqrt{(2+2)^2+(3+4)^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx8{,}06\).

a)

\(P(20)=\dfrac{20\cdot17}{2}=170\).

b) Warunek: \(P(n)=5n\), czyli

\(\dfrac{n(n-3)}{2}=5n\).

Ponieważ \(n\ge3>0\), dzielimy obie strony przez \(n\) i mnożymy przez 2:

\(n-3=10\), skąd \(n=13\).

Sprawdzenie: \(P(13)=\tfrac{13\cdot10}{2}=65=5\cdot13\). ✅

c) Stwierdzenie jest fałszywe. Wystarczy podać kontrprzykład: dla sześciokąta (\(n=6\), liczba parzysta)

\(P(6)=\dfrac{6\cdot3}{2}=9\) — liczba nieparzysta.

Uzasadnienie ogólne: dla \(n=2k\) mamy \(P(n)=k(2k-3)\). Czynnik \(2k-3\) jest zawsze nieparzysty, więc parzystość wyniku zależy od \(k\): dla \(k\) nieparzystego (np. \(k=3\), czyli \(n=6\)) liczba przekątnych jest nieparzysta.

Sprowadzamy wszystkie potęgi do podstawy 2:

\(4^{23}=\left(2^2\right)^{23}=2^{46}\), \(\ 32^{9}=\left(2^5\right)^{9}=2^{45}\),

\(16^{4}=\left(2^4\right)^{4}=2^{16}\), \(\ \left(4^{4}\right)^{4}=4^{16}=\left(2^2\right)^{16}=2^{32}\).

Równanie przyjmuje postać:

\(2^{46}x-2^{45}x=2^{16}\cdot2^{32}=2^{48}\).

Wyłączamy \(2^{45}\) przed nawias:

\(2^{45}(2-1)x=2^{48}\), czyli \(2^{45}x=2^{48}\).

Stąd

\(x=\dfrac{2^{48}}{2^{45}}=2^{3}=8\).

Oznaczmy przez \(x\) cenę litra benzyny przed podwyżkami.

Po pierwszej podwyżce o 10% cena wynosi \(1{,}1x\), a po drugiej (o 5% od nowej ceny) — \(1{,}05\cdot1{,}1x\).

Z warunku zadania:

\(1{,}1\cdot1{,}05\cdot x=4{,}62\),

\(1{,}155x=4{,}62\),

\(x=\dfrac{4{,}62}{1{,}155}=4\).

Sprawdzenie: \(4\cdot1{,}1=4{,}40\); \(4{,}40\cdot1{,}05=4{,}62\). ✅

Odpowiedź: przed podwyżkami litr benzyny kosztował 4 zł.

a) Rozwiązujemy nierówność:

\(2-\dfrac1n<1{,}975\),

\(-\dfrac1n<-0{,}025\), czyli \(\dfrac1n>0{,}025=\dfrac{1}{40}\).

Stąd \(n<40\), a więc \(n\in\{1,2,\ldots,39\}\) — jest 39 takich wyrazów.

b) Obliczamy potrzebne wyrazy:

\(a_2=2-\dfrac12=\dfrac32\), \(\ a_7=2-\dfrac17=\dfrac{13}{7}\).

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich:

\(a_7=\dfrac{a_2+x}{2}\), czyli \(x=2a_7-a_2=\dfrac{26}{7}-\dfrac32\).

\(x=\dfrac{52-21}{14}=\dfrac{31}{14}\approx2{,}214\).

1) Punkty \(A\) i \(B\).

Dla \(y=0\): \(5x-10=0\), skąd \(A=(2,0)\).

Dla \(x=0\): \(4y-10=0\), skąd \(B=\left(0,\tfrac52\right)\).

2) Pole trójkąta. Punkt \(C=(c,0)\) leży na osi \(Ox\), więc za podstawę trójkąta przyjmujemy odcinek \(AC\) o długości \(|c-2|\), a wysokością jest odległość punktu \(B\) od osi \(Ox\), równa \(\tfrac52\):

\(P=\tfrac12\cdot|c-2|\cdot\tfrac52=35\).

3) Rozwiązanie.

\(|c-2|=\dfrac{35\cdot4}{5}=28\),

\(c-2=28\) lub \(c-2=-28\), czyli \(c=30\) lub \(c=-26\).

Odpowiedź: \(C=(30,0)\) albo \(C=(-26,0)\).

Oznaczmy wysokość trapezu przez \(h\). Poprowadźmy obie wysokości z końców krótszej podstawy na dłuższą.

Powstają dwa trójkąty prostokątne o kątach ostrych \(30^\circ\) i \(45^\circ\). Długości rzutów ramion na dłuższą podstawę:

\(x=\dfrac{h}{\mathrm{tg}\,30^\circ}=h\sqrt3\), \(\ y=\dfrac{h}{\mathrm{tg}\,45^\circ}=h\).

Suma tych rzutów jest równa różnicy podstaw:

\(h\sqrt3+h=10-4=6\),

\(h\left(\sqrt3+1\right)=6\),

\(h=\dfrac{6}{\sqrt3+1}=\dfrac{6\left(\sqrt3-1\right)}{\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)}=\dfrac{6\left(\sqrt3-1\right)}{2}=3\left(\sqrt3-1\right)\).

\(h=3\sqrt3-3\approx2{,}20\) cm.

a) Obliczamy wartość wielomianu dla \(x=1\):

\(W(1)=1-5-9+45=32\).

Ponieważ \(32\neq30\), punkt \(A=(1,30)\) nie należy do wykresu tego wielomianu.

b) Rozkładamy metodą grupowania:

\(W(x)=x^3-5x^2-9x+45=x^2(x-5)-9(x-5)\),

\(W(x)=(x-5)\left(x^2-9\right)=(x-5)(x-3)(x+3)\).

(Pierwiastki wielomianu to \(5\), \(3\) i \(-3\).)

Zapisujemy funkcję w postaci ogólnej:

\(f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2\).

Wierzchołek. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę, a wierzchołek leży w

\(x_w=\dfrac{3}{4}\in\langle-2,2\rangle\).

\(f\!\left(\tfrac34\right)=2\cdot\dfrac{9}{16}-3\cdot\dfrac34-2=\dfrac98-\dfrac94-2=-\dfrac{25}{8}\).

Wartości na krańcach przedziału.

\(f(-2)=2\cdot4+6-2=12\), \(\ f(2)=8-6-2=0\).

Odpowiedź: wartość najmniejsza wynosi \(-\dfrac{25}{8}=-3{,}125\) (dla \(x=\tfrac34\)), a największa \(12\) (dla \(x=-2\)).

a) Z warunku \(h(2)=5\):

\(\dfrac{a}{2}=5\), skąd \(a=10\), czyli \(h(x)=\dfrac{10}{x}\).

b)

\(h(\pi)-h(-\pi)=\dfrac{10}{\pi}-\dfrac{10}{-\pi}=\dfrac{10}{\pi}+\dfrac{10}{\pi}=\dfrac{20}{\pi}>0\).

Liczba ta jest więc dodatnia.

c) Rozwiązujemy nierówność \(\dfrac{10}{x}>5\) przy założeniu \(x\neq0\):

\(\dfrac{10}{x}-5>0\), czyli \(\dfrac{10-5x}{x}>0\).

Mnożąc przez \(x^2>0\): \(x(10-5x)>0\), czyli \(5x(2-x)>0\), a stąd \(x(x-2)<0\).

Zatem \(x\in(0,2)\).

1) Apotema ściany bocznej. Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie \(a\) i wysokości \(h_b\):

\(P_b=3\cdot\tfrac12 a\,h_b=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\),

\(h_b=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\).

2) Apotema podstawy. Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu wpisanego wynosi

\(m=\dfrac{a\sqrt3}{6}\).

3) Kąt nachylenia \(\beta\). Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kąt między apotemą ściany \(h_b\) a jej rzutem \(m\) na płaszczyznę podstawy (na rysunku: kąt przy spodku wysokości ściany, w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(h_b\)):

\(\cos\beta=\dfrac{m}{h_b}=\dfrac{\tfrac{a\sqrt3}{6}}{\tfrac{a\sqrt{15}}{6}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{15}}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\approx0{,}447\).

4) Odczyt z tablic. Wartości \(\cos\beta\approx0{,}447\) odpowiada

\(\beta\approx63^\circ\).

Rzucamy dwa razy kostką, więc zdarzeniami elementarnymi są pary wyników:

\(|\Omega|=6\cdot6=36\).

a) W każdym rzucie może wypaść 1, 3 albo 5 — po 3 możliwości:

\(|A|=3\cdot3=9\), \(\ P(A)=\dfrac{9}{36}=\dfrac14\).

b) Suma większa od 9 to suma 10, 11 albo 12:

• suma 10: \((4,6),(5,5),(6,4)\) — 3 pary,

• suma 11: \((5,6),(6,5)\) — 2 pary,

• suma 12: \((6,6)\) — 1 para.

\(|B|=6\), \(\ P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac16\).

c) Spośród sum większych od 9 nieparzysta jest tylko suma 11:

\(|C|=2\), \(\ P(C)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}\).