Zadanie 11 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

1) Apotema ściany bocznej. Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie \(a\) i wysokości \(h_b\):

\(P_b=3\cdot\tfrac12 a\,h_b=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\),

\(h_b=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\).

2) Apotema podstawy. Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu wpisanego wynosi

\(m=\dfrac{a\sqrt3}{6}\).

3) Kąt nachylenia \(\beta\). Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kąt między apotemą ściany \(h_b\) a jej rzutem \(m\) na płaszczyznę podstawy (na rysunku: kąt przy spodku wysokości ściany, w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(h_b\)):

\(\cos\beta=\dfrac{m}{h_b}=\dfrac{\tfrac{a\sqrt3}{6}}{\tfrac{a\sqrt{15}}{6}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{15}}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\approx0{,}447\).

4) Odczyt z tablic. Wartości \(\cos\beta\approx0{,}447\) odpowiada

\(\beta\approx63^\circ\).