- $|OP|=\sqrt{10}\gt \sqrt5$ — punkt zewnętrzny. Prosta pionowa $x=3$ ma odległość $3\ne\sqrt5$ — nie jest styczna.
- $y-1=m(x-3)$, czyli $mx-y+1-3m=0$. Styczność: $\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5$.
- $(1-3m)^2=5(m^2+1) \Rightarrow 4m^2-6m-4=0 \Rightarrow m=2$ lub $m=-\frac12$.
- $y=2x-5$ oraz $y=-\frac12x+\frac52$.
Odpowiedź: $y=2x-5$ oraz $y=-\tfrac12x+\tfrac52$
Schemat punktowania:- 1 pkt — równanie prostej przez $P$ z parametrem,
- 2 pkt — warunek styczności,
- 3 pkt — równanie kwadratowe z $m$,
- 4 pkt — obie wartości $m$,
- 5 pkt — równania stycznych (i odrzucenie prostej pionowej).