Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby \(7\).

$$7^1=7 \           ,\

7^2=49 \           ,\

7^3=343 \           ,\

7^4=2401 \           ,\

7^5=16\;807 \           ,\

7^6=117\;649 \           ,\

7^7=823\;543 \           ,\

7^8=5\;764\;801 \           ,\

7^9=40\;353\;607 \           ,\

...$$



Cyfrą jedności liczby \(7^{190}\) jest:

A \(1\)
B \(3\)
C \(7\)
D \(9\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Cyfra jedności to ostatnia cyfra w liczbie. Należy zauważyć, że cyfry jedności poszczególnych potęg układają się w bardzo charakterystycznym ciągu cyfr. Gdybyśmy wypisali po kolei ostatnie cyfry z powyższych liczb, to otrzymalibyśmy ciąg: $$\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry},\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry}...$$ Co cztery liczby nasz ciąg cyfr jedności się powtarza, a skoro tak, to możemy sprawdzić ile takich powtórzeń się przytrafi: $$190:4=47 r.2$$ Nasz ciąg powtórzy się zatem \(47\) razy. Reszta tego ciągu mówi nam o tym która cyfra jest przez nas poszukiwana. Skoro reszta wyszła równa \(2\), to interesuje nas druga cyfra tego ciągu. Drugą cyfrą jest \(9\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania