W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są punkty: \(K=(–2,8)\) i \(M=(4,6)\). Podaj współrzędne punktu \(P\) takiego, że jeden z trzech punktów \(P, K, M\) jest środkiem odcinka o końcach w dwóch pozostałych punktach. Podaj wszystkie możliwości.

Odpowiedź:      

Punkt \(P\) może mieć współrzędne \(P=(-8;10)\), \(P=(10;4)\) lub \(P=(1;7)\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Analiza treści zadania. Zadanie nie precyzuje który punkt jest środkiem odcinka, a który jest punktem krańcowym odcinka. W związku z tym każdy z trzech punktów \(K, M, P\) może być środkiem naszego odcinka. Musimy więc rozważyć każdy z trzech wariantów - punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(PM\) - punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(PK\) - punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(KM\) Naszym zadaniem jest więc obliczenie współrzędnych punktu \(P\) w każdym z tych trzech przypadków. Do obliczeń współrzędnych punktu \(P\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka: $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \           ,\ y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$ Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(K\) jest środkiem odcinka. Skoro \(K=(–2,8)\), to znaczy że: Współrzędna iksowa punktu \(P\): $$-2=\frac{x+4}{2} \           ,\ -4=x+4 \           ,\ x=-8$$ Współrzędna igrekowa punktu \(P\): $$8=\frac{y+6}{2} \           ,\ 16=y+6 \           ,\ y=10$$ Zatem \(P=(-8;10)\). Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(M\) jest środkiem odcinka. Współrzędna iksowa punktu \(P\): $$4=\frac{x-2}{2} \           ,\ 8=x-2 \           ,\ x=10$$ Współrzędna igrekowa punktu \(P\): $$6=\frac{y+8}{2} \           ,\ 12=y+8 \           ,\ y=4$$ Zatem \(P=(10;4)\). Krok 3. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(P\) jest środkiem odcinka. Współrzędna iksowa punktu \(P\): $$x=\frac{-2+4}{2} \           ,\ x=\frac{2}{2} \           ,\ x=1$$ Współrzędna igrekowa punktu \(P\): $$y=\frac{8+6}{2} \           ,\ y=\frac{14}{2} \           ,\ y=7$$ Zatem \(P=(1;7)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania