Proste \(a\) i \(b\) są równoległe.





Półproste \(PA\) i \(PB\) przecinają te proste, w wyniku czego tworzą z nimi kąty ostre o miarach podanych na rysunku. Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest prosty.

Odpowiedź:      

Uzasadniono dorysowując prostą i wykorzystując własności kątów.

Rozwiązanie:      
I sposób - przeprowadzając prostą przez punkt \(P\): Jeżeli przez punkt \(P\) poprowadzimy prostą równoległą do prostych \(a\) oraz \(b\), to korzystając z własności kątów odpowiadających otrzymamy następującą sytuację: Suma kątów \(27°+63°\) daje kąt \(90°\) i właśnie to należało udowodnić. II sposób - przedłużając półprostą \(PB\): Jeżeli przedłużymy półprostą \(PB\) tak aby przecięła się z prostą \(a\) to otrzymamy trójkąt \(ACP\) którego dwa kąty wyznaczymy z własności kątów: \(|\sphericalangle CAP|=27°\) (kąt wierzchołkowy) \(|\sphericalangle ACP|=63°\) (kąt odpowiadający) To oznacza, że kąt \(CPA\) ma miarę: $$180°-27°-63°=90°$$ Kąty \(CPA\) oraz poszukiwany przez nas \(APB\) są kątami przyległymi (czyli takimi których łączna miara wynosi \(180°\)). Skoro \(|\sphericalangle CPA|=90°\), to: $$|\sphericalangle APB|=180°-90°=90°$$

Teoria:      
W trakcie opracowania