W układzie współrzędnych narysowano cztery połączone odcinki: \(AB\), \(BC\), \(CD\) i \(DE\). Współrzędne końców odcinków są liczbami całkowitymi.





Adam, Bernard, Cezary i Daniel mieli obliczyć długości poszczególnych odcinków, a następnie uporządkować te odcinki od najkrótszego do najdłuższego. Rozwiązania chłopców przedstawiono w tabeli.





Kto podał prawidłowe rozwiązanie?

A Adam
B Bernard
C Cezary
D Daniel

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Kluczowym problemem w tym zadaniu jest obliczenie długości "ukośnych" odcinków. Pomoże nam w tym jednak Twierdzenie Pitagorasa: Krok 2. Obliczenie długości poszczególnych odcinków. Zacznijmy od odcinka \(AB\). Tutaj powinniśmy dostrzec, że jest to po prostu klasyczny trójkąt prostokątny o bokach \(3, 4, 5\), zatem odcinek \(|AB|=5\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy oczywiście skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Teraz przejdźmy do odcinka \(BC\). Tym razem nie obejdzie się bez Twierdzenia Pitagorasa, zatem: $$2^2+4^2=|BC|^2 \           ,\ 4+16=|BC|^2 \           ,\ |BC|^2=20 \           ,\ |BC|=\sqrt{20} \quad\lor\quad |BC|=-\sqrt{20}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BC|=\sqrt{20}\) i w takiej postaci możemy to zostawić. Odcinek \(CD\) jest najprostszy, bowiem wystarczy policzyć jego długość po kratkach. Tutaj możemy wprost zapisać, że \(|CD|=4\). Na koniec został odcinek \(DE\) i tak jak w przypadku odcinka \(BC\), musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa: $$5^2+1^2=|DE|^2 \           ,\ 25+1=|DE|^2 \           ,\ |DE|^2=26 \           ,\ |DE|=\sqrt{26} \quad\lor\quad |DE|=-\sqrt{26}$$ Interesuje nas tylko dodatni wynik, zatem \(|DE|=\sqrt{26}\). Krok 3. Ustalenie, który chłopiec miał racje. Długości boków są następujące: \(|AB|=5\) \(|BC|=\sqrt{20}\) (czyli więcej niż \(4\), ale mniej niż \(5\)) \(|CD|=4\) \(|DE|=\sqrt{26}\) (czyli więcej niż \(5\)) To oznacza, że: $$|CD|\lt|BC|\lt|AB|\lt|DE|$$ Rację miał więc Bernard.

Teoria:      
W trakcie opracowania