Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach: $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \           ,\ 1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \           ,\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \           ,\ a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \           ,\ a^2+b^2\ge2ab \           ,\ a^2-2ab+b^2\ge0 \           ,\ (a-b)^2\ge0$$ Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania