Kąt \(α\) jest ostry oraz \(tgα=\frac{4}{3}\). Oblicz \(sinα+cosα\).

Odpowiedź:      

\(sinα+cosα=1\frac{2}{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wzoru na wartość sinusa. Z funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Podstawmy więc znaną nam wartość tangensa i spróbujmy wyznaczyć z niej wartość sinusa: $$\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3} \           ,\ sinα=\frac{4}{3}cosα$$ Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa. Tym razem skorzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, dzięki któremu obliczymy dokładną wartość cosinusa. $$sin^2α+cos^2α=1$$ Podstawiając do tego wzoru wyznaczoną wartość sinusa z poprzedniego kroku otrzymamy: $$\left(\frac{4}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{16}{9}cos^2α+cos^2α=1 \           ,\ \frac{25}{9}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{25} \           ,\ cos^2α=\frac{9}{25} \           ,\ cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bowiem w treści zadania mowa jest o kącie ostrym, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni. Krok 3. Obliczenie wartości sinusa. Obliczoną wartość cosinusa możemy podstawić do wzoru wyprowadzonego w pierwszym kroku, tak więc: $$sinα=\frac{4}{3}cosα \           ,\ sinα=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{5} \           ,\ sinα=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$ Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\). Znamy już wartość sinusa i cosinusa, tak więc: $$sinα+cosα=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania