Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^2\gt0\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Kluczem do sukcesu jest rozbicie wartości \(2b^2\) na \(b^2+b^2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuacje: $$a(a-2b)+2b^2\gt0 \           ,\ a^2-2ab+b^2+b^2\gt0$$ Wyrażenie \(a^2-2ab+b^2\) możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a-b)^2\), co sprawi że otrzymamy: $$(a-b)^2+b^2\gt0$$ Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, zatem \(a-b\) jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość \((a-b)^2\) jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość \(b^2\) będzie większa od zera lub równa zero. Suma \((a-b)^2\) oraz \(b^2\) musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania