Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

Odpowiedź:      

\(x\in\left(-\infty;-\frac{5}{2}\right)\cup(1;+\infty)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej. Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wymnożyć wszystkie wartości i przenieść wszystko na lewą stronę: $$2(x-1)(x+3)\gt x-1 \           ,\ (2x-2)(x+3)\gt x-1 \           ,\ 2x^2+6x-2x-6\gt x-1 \           ,\ 2x^2+4x-6\gt x-1 \           ,\ 2x^2+3x-5\gt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-5\) $$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot2}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot2}=\frac{4}{4}=1$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)). Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie suma przedziałów: $$x\in\left(-\infty;-\frac{5}{2}\right)\cup(1;+\infty)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania