Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α\).

Odpowiedź:      

Wartość wyrażenia jest równa \(2\frac{3}{4}\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości sinusa. Skorzystamy tutaj z jedynki trygonometrycznej: $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ sin^2α+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1 \           ,\ sin^2α+\frac{7}{16}=1 \           ,\ sin^2α=\frac{9}{16} \           ,\ sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \quad\lor\quad sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \           ,\ sinα=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{4}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(sinα=\frac{3}{4}\). Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia. Znając wartości sinusa i cosinusa możemy oczywiście od razu przystąpić do podstawiania tych wartości do naszego wyrażenia. Jednak zamiast wykonywania tych długich obliczeń moglibyśmy się pokusić o uproszczenie całego wyrażenia, wyłączając przed nawias wartość \(sinα\). Nie jest to rzecz obowiązkowa, ale jak się za chwilę okaże - znacznie upraszcza to wszystkie rachunki. $$2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α= \           ,\ =2+sinα\cdot(sin^2α+cos^2α)= \           ,\ =2+sinα\cdot1=2+sinα$$ Znając wartość sinusa możemy już bez przeszkód podać wynik tego zadania: $$2+sinα=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania