Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:

\(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).

Odpowiedź:      

Udowodniono wyciągając przed nawias odpowiednie czynniki.

Rozwiązanie:      
Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco: $$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \           ,\ =1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \           ,\ =(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \           ,\ (1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$ Teraz, wystarczy zauważyć, że: $$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$ To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).

Teoria:      
W trakcie opracowania