Dany jest ciąg geometryczny \((4x+4, x+3, x+1)\), którego wszystkie wyrazy są dodatnie. Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

A \(\frac{1}{4}\)
B \(\frac{1}{2}\)
C \(-1\)
D \(2\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. I sposób - dla spostrzegawczych. Moglibyśmy dostrzec, że trzeci wyraz \(x+1\) jest \(4\) razy mniejszy od pierwszego wyrazu \(4x+4\), a to znacząco uprości obliczenia. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{3}=a_{1}\cdot q^2\), a więc \(q^2=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). Skoro tak, to: $$q^2=\frac{x+1}{4x+4} \           ,\ q^2=\frac{x+1}{4\cdot(x+1)} \           ,\ q^2=\frac{1}{4} \           ,\ q=\frac{1}{2} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{2}$$ Ujemne \(q\) odrzucamy, bo dla ujemnego \(q\) nigdy nie otrzymamy ciągu o dodatnich wyrazach (a zgodnie z treścią zadania - ciąg ma mieć wszystkie wyrazy dodatnie). Zostaje nam więc \(q=\frac{1}{2}\). II sposób - korzystając z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając do tego wzoru wartości naszych wyrazów, otrzymamy: $$(x+3)^2=(4x+4)\cdot(x+1) \           ,\ x^2+6x+9=4x^2+4x+4x+4 \           ,\ x^2+6x+9=4x^2+8x+4 \           ,\ -3x^2-2x+5=0$$ Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta. Współczynniki: \(a=-3,\;b=-2,\;c=5\) $$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-3)\cdot5=4-(-60)=4+60=64 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-8}{2\cdot(-3)}=\frac{2-8}{-6}=\frac{-6}{-6}=1 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+8}{2\cdot(-3)}=\frac{2+8}{-6}=\frac{10}{-6}=-1\frac{2}{3}$$ Z otrzymanych rozwiązań pasuje nam jedynie \(x=1\), bo tylko wtedy nasze wyrazy będą dodatnie. Podstawmy zatem \(x=1\) do naszych wyrazów: $$a_{1}=4x+4=4+4=8 \           ,\ a_{2}=x+3=1+3=4 \           ,\ a_{3}=x+1=1+1=2$$ Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów, obliczenie \(q\) jest już tylko formalnością: $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{4}{8} \           ,\ q=\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania