W ostrosłupie \(ABCS\) podstawą jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(4\), ściana boczna \(BCS\) też jest trójkątem równobocznym, a spodek \(O\) wysokości \(SO\) ostrosłupa jest środkiem wysokości \(AD\) trójkąta \(ABC\) (jak na rysunku).





Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=4\sqrt{3}\) oraz \(P_{c}=8\sqrt{3}+2\sqrt{39}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanosząc na rysunek kluczowe informacje, otrzymamy taką oto sytuację: Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie. W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że: $$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ h_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \           ,\ h_{p}=2\sqrt{3}$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(OD\). Wysokość ostrosłupa \(SO\) dzieli nam wysokość podstawy na dwie równe części (tak wynika wprost z zadania). Każda z tych części ma długość \(\frac{1}{2}h_{p}\). Skoro tak, to odcinek \(OD\) będzie mieć długość: $$|OD|=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3} \           ,\ |OD|=\sqrt{3}$$ Krok 4. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCS\). Trójkąt \(BCS\) jest także trójkątem równobocznym o boku \(a=4\) (wynika to z zadania). Jego wysokość obliczymy więc dokładnie tak samo, jak wysokość \(h_{p}\), zatem: $$h_{b}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ h_{b}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \           ,\ h_{b}=2\sqrt{3}$$ Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Spoglądamy teraz na kluczowy trójkąt prostokątny \(SOD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć wysokość ostrosłupa: $$(\sqrt{3})^2+H^2=(2\sqrt{3})^2 \           ,\ 3+H^2=4\cdot3 \           ,\ 3+H^2=12 \           ,\ H^2=9 \           ,\ H=3 \quad\lor\quad H=-3$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=3\). Krok 6. Obliczenie pola powierzchni podstawy. W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=4\sqrt{3}$$ Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa. Wiemy, że \(P_{p}=4\sqrt{3}\). Wysokość ostrosłupa też już znamy, bowiem \(H=3\). Możemy zatem przystąpić do obliczenia objętości: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot3 \           ,\ V=4\sqrt{3}$$ Krok 8. Obliczenie długości krawędzi \(AS\). Spoglądamy tym razem na trójkąt prostokątny \(AOS\). Odcinek \(AO\) będzie taki sam jak \(OD\), czyli ma długość \(|AS|=\sqrt{3}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=3\), zatem ponownie możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że: $$(\sqrt{3})^2+3^2=|AS|^2 \           ,\ 3+9=|AS|^2 \           ,\ |AS|^2=12 \           ,\ |AS|=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$ Krok 9. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABS\) (oraz \(ACS\)). Trójkąt \(ABS\) jest trójkątem równoramiennym (takim obróconym), w którym podstawa \(|AS|=2\sqrt{3}\), a ramiona \(|AB|=4\) oraz \(|BS|=4\). Musimy poznać pole tego trójkąta, a do tego potrzebujemy wysokości. Wiemy, że w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części (patrz rysunek), tworząc nam tym samym kolejne trójkąty prostokątne. Ponownie z pomocą przyjdzie nam więc Twierdzenie Pitagorasa: $$(\sqrt{3})^2+h^2=4^2 \           ,\ 3+h^2=16 \           ,\ h=\sqrt{13}$$ To oznacza, że pole trójkąta \(ABS\) będzie równe: $$P_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13} \           ,\ P_{ABS}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{13} \           ,\ P_{ABS}=\sqrt{39}$$ Analogiczna sytuacja jest w trójkącie \(ACS\) (tutaj także mamy podstawę \(|AS|=2\sqrt{3}\) oraz ramiona \(|AC|=4\) oraz \(|CS|=4\)), zatem także \(P_{ACS}=\sqrt{39}\). Krok 10. Obliczenie pola powierzchni całkowitej. Podsumowując - nasz trójkąt składa się z dwóch trójkątów równobocznych o polu \(4\sqrt{3}\) (wyliczyliśmy to w szóstym kroku) oraz dwóch trójkątów o polu \(\sqrt{39}\) (wyliczyliśmy to w dziewiątym kroku). Skoro tak, to pole powierzchni całkowitej będzie równe: $$P_{c}=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\sqrt{39}+\sqrt{39}=8\sqrt{3}+2\sqrt{39}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania