Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_{5}=4a_{3}\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy:

A \(\frac{2}{3}\)
B \(\frac{3}{2}\)
C \(\frac{2}{9}\)
D \(\frac{9}{2}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Skoro \(9a_{5}=4a_{3}\), to dzieląc obie strony tego równania przez \(9\) otrzymamy informację, że \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\). Z własności ciągów geometrycznych wynika, że: $$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$ Podstawiając do tego równania \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\), otrzymamy: $$\frac{4}{9}a_{3}=a_{3}\cdot q^2 \quad\bigg/:a_{3} \           ,\ \frac{4}{9}=q^2 \           ,\ q=\frac{2}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{2}{3}$$ Teoretycznie obydwa rozwiązania są poprawne, ale jedno z nich musimy odrzucić. Z treści zadania wynika, że ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie, a skoro tak, to odrzucić musimy \(q=-\frac{2}{3}\). To oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{2}{3}\)

Teoria:      
W trakcie opracowania