Ciąg \((4x, 3x+6, 9x)\) jest geometryczny i rosnący. Jego iloraz jest równy:

A \(-\frac{3}{2}\)
B \(-\frac{2}{3}\)
C \(\frac{3}{2}\)
D \(2\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca relacja: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy: $$(3x+6)^2=4x\cdot9x \           ,\ 9x^2+36x+36=36x^2 \           ,\ -27x^2+36x+36=0 \           ,\ -3x^2+4x+4=0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych. Współczynniki: \(a=-3,\;b=4,\;c=4\) $$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=64 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-8}{2\cdot(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$$ Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników. Otrzymaliśmy dwa różne wyniki, ale czy oba są poprawne? Aby to ustalić, sprawdźmy co się stanie, gdy podstawimy do wyrazów ciągu wartości \(x=2\) oraz \(x=-\frac{2}{3}\). Dla \(x=2\): \(a_{1}=4\cdot2=8 \           ,\ a_{2}=3\cdot2+6=12 \           ,\ a_{3}=9\cdot2=18\) Dla \(x=-\frac{2}{3}\): \(a_{1}=4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3} \           ,\ a_{2}=3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+6=4 \           ,\ a_{3}=9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-6\) Widzimy, że nasz ciąg jest rosnący tylko dla \(x=2\). Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Celem naszego zadania jest obliczenie ilorazu ciągu. Skoro tak, to możemy zapisać, że: $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{12}{8} \           ,\ q=\frac{3}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania