Ciągi \((a_{n})\), \((b_{n})\) oraz \((c_{n})\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:

$$a_{n}=6n^2-n^3 \           ,\

b_{n}=2n+13 \           ,\

c_{n}=2^n$$



Wskaż zdanie prawdziwe.

A Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
B Ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny.
C Ciąg \((c_{n})\) jest arytmetyczny.
D Wśród ciągów \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n})\) nie ma ciągu arytmetycznego.

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo: Ciąg \(a_{n}\): $$a_{1}=6\cdot1^2-1^3=6-1=5 \           ,\ a_{2}=6\cdot2^2-2^3=6\cdot4-8=24-8=16 \           ,\ a_{3}=6\cdot3^2-3^3=6\cdot9-27=54-27=27 \           ,\ a_{4}=6\cdot4^2-4^3=6\cdot16-64=96-64=32$$ To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(a_{2}-a_{1}=11\), natomiast \(a_{4}-a_{3}=5\). Ciąg \(b_{n}\): $$b_{1}=2\cdot1+13=2+13=15 \           ,\ b_{2}=2\cdot2+13=4+13=17 \           ,\ b_{3}=2\cdot3+13=6+13=19 \           ,\ b_{4}=2\cdot4+13=8+13=21$$ Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym \(r=2\). Ciąg \(c_{n}\): $$c_{1}=2^1=2 \           ,\ c_{2}=2^2=4 \           ,\ c_{3}=2^3=8 \           ,\ c_{4}=2^4=16$$ To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\). Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).

Teoria:      
W trakcie opracowania