W ciągu liczbowym \(a_{n}=(-1)^{2n+1}\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\) dla \(n\ge1\) suma \(a_{5}+a_{11}\) jest równa:

A \(1024\)
B \(1038\)
C \(-1024\)
D \(-1038\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{11}\). Chcąc obliczyć wartość piątego i jedenastego wyrazu, musimy podstawić do wzoru ciągu odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=11\): $$a_{5}=(-1)^{2\cdot5+1}\cdot\left(2^{5-1}-1\right) \           ,\ a_{5}=(-1)^{10+1}\cdot(2^4-1) \           ,\ a_{5}=(-1)^{11}\cdot(16-1) \           ,\ a_{5}=(-1)\cdot15 \           ,\ a_{5}=-15$$ $$a_{11}=(-1)^{2\cdot11+1}\cdot\left(2^{11-1}-1\right) \           ,\ a_{11}=(-1)^{22+1}\cdot(2^{10}-1) \           ,\ a_{11}=(-1)^{23}\cdot(1024-1) \           ,\ a_{11}=(-1)\cdot1023 \           ,\ a_{11}=-1023$$ Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{5}+a_{11}\). Suma tych wyrazów jest więc równa: $$a_{5}+a_{11}=(-15)+(-1023) \           ,\ a_{5}+a_{11}=-1038$$

Teoria:      
W trakcie opracowania