Wartość wyrażenia \((tg\alpha-tg^2\alpha)\cdot cos\alpha\) dla kąta ostrego \(\alpha\), dla którego \(sin\alpha=\frac{3}{5}\), wynosi:

A \(\frac{16}{25}\)
B \(\frac{3}{10}\)
C \(\frac{3}{20}\)
D \(\frac{1}{10}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\). Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy: $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ \left(\frac{3}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{9}{25}+cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=\frac{16}{25} \           ,\ cosα=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{16}{25}} \           ,\ cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$ Wartość ujemną cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\frac{4}{5}\). Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\). Znamy wartość sinusa oraz cosinusa, zatem możemy bez problemu obliczyć tangensa: $$tgα=\frac{sinα}{cosα} \           ,\ tgα=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \           ,\ tgα=\frac{3}{5}:\frac{4}{5} \           ,\ tgα=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4} \           ,\ tgα=\frac{3}{4}$$ Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia. Na koniec musimy podstawić obliczone wartości do wyrażenia z treści zadania, otrzymując: $$\left(\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)\cdot\frac{4}{5}= \           ,\ =\left(\frac{3}{4}-\frac{9}{16}\right)\cdot\frac{4}{5}= \           ,\ =\left(\frac{12}{16}-\frac{9}{16}\right)\cdot\frac{4}{5}= \           ,\ =\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{20}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania