Wahadło sprężynowe

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\cdot 3{,}14\cdot\sqrt{\dfrac{1}{100}} = 6{,}28\cdot 0{,}1 = 0{,}628\ \text{s} \approx 0{,}63\ \text{s}$.

Okres zależy od $\sqrt{m}$. Czterokrotny wzrost masy daje $\sqrt{4} = 2$, więc okres wzrośnie dwukrotnie.

W drganiach harmonicznych siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia. Przy większej amplitudzie ciało pokonuje dłuższą drogę, ale działa też na nie proporcjonalnie większa siła (a więc większe przyspieszenie). Te efekty się kompensują, dzięki czemu okres $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$ zależy tylko od masy i sprężystości — nie od amplitudy.

1. $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\sqrt{0{,}004}=2\pi\cdot0{,}0632\approx0{,}397$ s.

Odpowiedź: $T\approx0{,}4$ s

1. $T=2\pi\sqrt{\dfrac lg} \Rightarrow l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}=\dfrac{9{,}81\cdot4}{39{,}48}\approx0{,}994$ m.

Odpowiedź: $l\approx0{,}99$ m

1. Okres nie zależy od amplitudy, więc się nie zmienia.
2. Energia $E=\tfrac12kA^2$ rośnie czterokrotnie.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? Energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

1. 1. W skrajnym położeniu prędkość jest największa — fałsz, jest zerowa.
2. 2. W położeniu równowagi wypadkowa sił jest równa zero — prawda.
3. 3. W skrajnym położeniu wartość przyśpieszenia jest największa — prawda.

Odpowiedź: FPP

1. $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=4\pi\approx12{,}57\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
2. $v_{max}=\omega A=12{,}57\cdot0{,}05\approx0{,}628\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_{max}\approx0{,}63\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

1. Bilans energii: $\tfrac12kA^2=\tfrac12mv_{max}^2$.
2. $v_{max}=A\sqrt{\dfrac km}=0{,}06\sqrt{400}=0{,}06\cdot20=1{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_{max}\approx1{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

1. W równowadze $mg=k\Delta l \Rightarrow \dfrac mk=\dfrac{\Delta l}{g}$.
2. $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\Delta l}{g}}=2\pi\sqrt{0{,}008}\approx0{,}562$ s.

Odpowiedź: $T\approx0{,}56$ s

Wskazówka: Masa i $k$ osobno nie są potrzebne — wystarczy ich iloraz.

1. $\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{2{,}5}{40}=0{,}0625$ m.
2. Najniżej: $F=k(\Delta l+A)=40\cdot0{,}1225=4{,}9$ N.
3. Najwyżej: $F=k(\Delta l-A)=40\cdot0{,}0025=0{,}1$ N (sprężyna wciąż rozciągnięta).

Odpowiedź: $F_{góra}=0{,}1$ N; $F_{dół}=4{,}9$ N

1. $T=2\pi\sqrt{\dfrac lg}=2\pi\sqrt{0{,}1}\approx1{,}987$ s.
2. Wysokość podniesienia: $h=l(1-\cos10^\circ)=1-0{,}9848=0{,}0152$ m.
3. $v_{max}=\sqrt{2gh}=\sqrt{0{,}304}\approx0{,}551\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $T\approx1{,}99$ s; $v_{max}\approx0{,}55\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

1. Wydłużenie sprężyny zmienia się od $\Delta l-A$ (najwyżej) do $\Delta l+A$ (najniżej).
2. Siła sprężystości $F=k\cdot(\text{wydłużenie})$, więc stosunek wynosi $\dfrac{k(\Delta l+A)}{k(\Delta l-A)}=\dfrac{\Delta l+A}{\Delta l-A}$. $\blacksquare$
3. Dla danych: $\dfrac{0{,}14}{0{,}06}=\dfrac73\approx2{,}33$.

Odpowiedź: stosunek $=\dfrac{7}{3}\approx2{,}33$

Rozwiązanie

Najniższe położenie ↔ największe wydłużenie sprężyny ↔ $\tfrac{F_s}{F_g}$ maksymalne ($1{,}2$); największa prędkość ↔ przejście przez położenie równowagi ↔ $\tfrac{F_s}{F_g}=1$.

1. W $t=3$ s wykres ma maksimum ($1{,}2$) → najniższe położenie → P.
2. W $t=2$ s wykres przecina wartość $1{,}0$ → położenie równowagi → największa prędkość → P.

Odpowiedź: P, P.

Rozwiązanie

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\Rightarrow k=\dfrac{4\pi^2 m}{T^2}=\dfrac{4\pi^2\cdot0{,}15}{0{,}8^2}\approx9{,}3\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$.

Rozwiązanie

1. W najniższym punkcie $F_s=mg+kA$, więc $\dfrac{F_s}{F_g}=1+\dfrac{kA}{mg}=1{,}2\Rightarrow \dfrac{kA}{mg}=0{,}2$.
2. $A=\dfrac{0{,}2\,mg}{k}=\dfrac{0{,}2\cdot0{,}15\cdot9{,}8}{9{,}3}\approx0{,}032$ m ($\approx3{,}2$ cm).

Rozwiązanie

1. Sprężyny działają równolegle (wszystkie unoszą ten sam pręt): $3$ sprężyny → współczynnik $3k$, $2$ sprężyny → $2k$.
2. $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_{ef}}{m}}$, więc $\dfrac{f_1}{f_2}=\sqrt{\dfrac{3k}{2k}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\approx1{,}225$.

Odpowiedź: $\dfrac{f_1}{f_2}\approx1{,}225$.

Rozwiązanie

1. Ze wzoru na energię potencjalną w skrajnym wychyleniu: $E=\tfrac12kA^2\Rightarrow k=\dfrac{2E}{A^2}=\dfrac{2\cdot4\cdot10^{-3}}{(0{,}04)^2}=5\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}$.
2. $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{5}}=2\pi\cdot0{,}2=0{,}4\pi\approx 1{,}26\ \text{s}$.

Odpowiedź: $T=0{,}4\pi\approx 1{,}26$ s.