Fale stojące

Fala stojąca powstaje przez nałożenie się fali biegnącej i fali odbitej (np. w strunie zamocowanej na końcach). W wyniku interferencji jedne punkty pozostają nieruchome — to węzły, a inne drgają z maksymalną amplitudą — to strzałki. Wzór fali nie przemieszcza się (stąd nazwa „stojąca").

Odległość węzłów to $\dfrac{\lambda}{2}$, więc $\lambda = 2\cdot 0{,}5 = 1\ \text{m}$.

Na strunie powstaje fala stojąca, której długość zależy od długości struny. Krótsza struna daje falę o mniejszej długości, a więc o większej częstotliwości — słyszymy dźwięk wyższy. Dłuższa struna daje niższy dźwięk. Dlatego skracając strunę (przyciskając ją), zmieniamy wysokość dźwięku.

1. $\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{500}=0{,}68$ m.

Odpowiedź: $\lambda=0{,}68$ m

1. $f=\dfrac{340}{0{,}5}=680$ Hz i nie zmienia się.
2. $\lambda_w=\dfrac{1450}{680}\approx2{,}13$ m.

Odpowiedź: $\lambda_w\approx2{,}13$ m

1. Na końcach są węzły; najprostszy mod to połowa fali na całej długości struny.
2. $L=\dfrac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda=2L$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? Ton podstawowy: jedna strzałka w środku, węzły na końcach.

1. 1. Częstotliwość maleje — fałsz, nie zmienia się.
2. 2. Długość fali maleje — prawda ($\lambda=\tfrac vf$).
3. 3. Fala załamuje się do normalnej — prawda.

Odpowiedź: FPP

1. $\lambda=\dfrac{340}{850}=0{,}4$ m.
2. $\Delta r=11{,}5-10{,}5=1$ m $=2{,}5\lambda$.
3. Różnica dróg jest nieparzystą wielokrotnością $\tfrac\lambda2$, więc nastąpi wygaszenie.

Odpowiedź: wygaszenie ($\Delta r=2{,}5\lambda$)

Wskazówka: Nie zgaduj: policz $\Delta r/\lambda$ — liczba całkowita to wzmocnienie, połówkowa to wygaszenie.

1. $\mu=\dfrac mL=\dfrac{0{,}0012}{0{,}6}=0{,}002\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}}$.
2. $v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{180}{0{,}002}}=\sqrt{90\,000}=300\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
3. $f_1=\dfrac{v}{2L}=\dfrac{300}{1{,}2}=250$ Hz.

Odpowiedź: $f\approx250$ Hz

1. $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{v_1}{v_2} \Rightarrow \sin\beta=\dfrac{v_2}{v_1}\sin\alpha$.
2. $\sin\beta=\dfrac{1000}{1500}\cdot0{,}5=0{,}3333$.
3. $\beta\approx19{,}5^\circ$.

Odpowiedź: $\beta\approx19{,}5^\circ$

1. $F\propto\Delta L$: $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{0{,}03}{0{,}01}=3$.
2. $f=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$, więc $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{L_1}{L_2}\sqrt{\dfrac{F_2}{F_1}}$.
3. $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{1{,}01}{1{,}03}\cdot\sqrt3\approx0{,}9806\cdot1{,}732\approx1{,}698$.

Odpowiedź: $\dfrac{f_2}{f_1}\approx1{,}70$

1. Częstotliwość jest narzucona przez źródło: każda „porcja” drgań, która dobiega do granicy, przechodzi dalej — liczba drgań na sekundę musi być taka sama po obu stronach.
2. Skoro $v=\lambda f$ i $f=\text{const}$, to $\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac12$.
3. $\lambda_2=0{,}75$ cm.

Odpowiedź: $\lambda_2=0{,}75$ cm

1. W rurze otwartej na obu końcach są strzałki, więc $L=n\dfrac{\lambda}{2}$, czyli $f_n=\dfrac{nv}{2L}$.
2. $f_1=\dfrac{340}{1{,}7}=200$ Hz.
3. $f_2=2f_1=400$ Hz.

Odpowiedź: $f_1=200$ Hz; $f_2=400$ Hz

Rozwiązanie

Na końcach struny są węzły. Najdłuższa fala (ton podstawowy): jedna strzałka, $L=\tfrac{\lambda}{2}$. Kolejne: dwie strzałki ($L=\lambda$) i trzy strzałki ($L=\tfrac{3\lambda}{2}$).

Rozwiązanie

1. Najdłuższa fala: $f=\dfrac{v}{2L}$, $v=\sqrt{\tfrac{F}{\mu}}=\sqrt{\tfrac{FL}{m}}$, więc $f=\dfrac12\sqrt{\dfrac{F}{mL}}$.
2. $F\propto$ wydłużenie: $F_2/F_1=\dfrac{0{,}03L_0}{0{,}01L_0}=3$.
3. $\dfrac{f_2}{f_1}=\sqrt{\dfrac{F_2 L_1}{F_1 L_2}}=\sqrt{3\cdot\dfrac{1{,}01}{1{,}03}}\approx1{,}72$.

Rozwiązanie

Odległość między sąsiednim węzłem a strzałką to ćwierć długości fali: $\tfrac{\lambda}{4}$.

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Na strunie o unieruchomionych końcach najdłuższa fala (ton podstawowy) spełnia $L=\tfrac{\lambda}{2}$, więc $\lambda_{\max}=2L=2\cdot0{,}9=1{,}8$ m.

Rozwiązanie

1. Na strunie częstotliwości to wielokrotności podstawowej: $f_n=n f_1$. Różnica kolejnych: $f_1=675-450=225$ Hz.
2. $1575:225=7$ (liczba całkowita), więc $1575$ Hz $=7f_1$ — to $7.$ harmoniczna, możliwa do wytworzenia. $\blacksquare$