Druga zasada termodynamiki — silniki cieplne

$\eta = \dfrac{W}{Q_{pob}}\cdot 100\% = \dfrac{500}{2000}\cdot 100\% = 25\%$.

Praca: $W = \eta\cdot Q_{pob} = 0{,}4\cdot 5000 = 2000\ \text{J}$.

Ciepło oddane: $Q_{odd} = Q_{pob} - W = 5000 - 2000 = 3000\ \text{J}$.

Zgodnie z II zasadą termodynamiki nie da się całego pobranego ciepła zamienić w pracę — część ciepła musi zostać oddana do chłodnicy (otoczenia). Gdyby sprawność wynosiła 100%, całe ciepło zamieniałoby się w pracę bez strat, co jest niemożliwe. Dlatego zawsze $\eta < 100\%$.

1. $\Delta U=Q-W_{gazu}=500-200=300$ J.

Odpowiedź: $\Delta U=300$ J

1. $\Delta U=\tfrac32nR\Delta T=1{,}5\cdot2\cdot8{,}31\cdot50=1246{,}5$ J.

Odpowiedź: $\Delta U\approx1246{,}5$ J

1. Temperatura jest stała, więc $\Delta U=0$.
2. Z I zasady: całe pobrane ciepło zamienia się w pracę gazu.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? Energia wewnętrzna zależy tylko od temperatury.

1. 1. Zmiana energii wewnętrznej jest w obu przypadkach taka sama — prawda ($\Delta U$ zależy tylko od $\Delta T$).
2. 2. W przemianie izobarycznej gaz pobiera więcej ciepła — prawda (dochodzi praca).
3. 3. W przemianie izochorycznej gaz wykonuje pracę — fałsz, $W=0$.

Odpowiedź: PPF

1. $Q=nC_p\Delta T=2\cdot\tfrac52\cdot8{,}31\cdot100=4155$ J.
2. $W_{gazu}=nR\Delta T=2\cdot8{,}31\cdot100=1662$ J.

Odpowiedź: $Q\approx4155$ J; $W\approx1662$ J

1. W cyklu $\Delta U=0$, więc $W=Q_{pob}-Q_{odd}=800-600=200$ J.
2. $\eta=\dfrac{200}{800}=0{,}25=25\%$.

Odpowiedź: $W=200$ J; $\eta=25\%$

1. $\eta_C=1-\dfrac{T_{ch}}{T_g}=1-\dfrac{300}{600}=0{,}5$.
2. $W=\eta Q_{pob}=0{,}5\cdot1200=600$ J.

Odpowiedź: $\eta=50\%$; $W=600$ J

1. Izochora: $W=0$, $\Delta U_1=\tfrac32(3p_1V_1-p_1V_1)=3p_1V_1$, więc $Q_1=3p_1V_1$.
2. Izobara: $W_{gazu}=3p_1(3V_1-V_1)=6p_1V_1$; $\Delta U_2=\tfrac32(9p_1V_1-3p_1V_1)=9p_1V_1$.
3. $Q_2=9p_1V_1+6p_1V_1=15p_1V_1$.
4. $Q=Q_1+Q_2=3p_1V_1+15p_1V_1=18p_1V_1$.

Odpowiedź: $Q=18p_1V_1$

1. $W_{gazu}=p_1(2V_1-V_1)=p_1V_1$.
2. $\Delta U=\tfrac32(2p_1V_1-p_1V_1)=1{,}5p_1V_1$.
3. $Q=1{,}5p_1V_1+p_1V_1=2{,}5p_1V_1$; udział pracy: $\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4=40\%$.

Odpowiedź: $Q=2{,}5p_1V_1$; na pracę idzie $40\%$

1. Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury: $U=\tfrac32nRT$.
2. Po zamkniętym cyklu gaz wraca do stanu początkowego, więc ma tę samą temperaturę — zatem $\Delta U=0$. $\blacksquare$
3. Z I zasady dla całego cyklu: $0=Q_{netto}+W$, czyli ciepło netto pobrane przez gaz równa się pracy, którą gaz wykonał.
4. Praca ta jest polem powierzchni zamkniętej przez cykl na wykresie $p(V)$.

Odpowiedź: $\Delta U_{cyklu}=0$, więc $Q_{netto}=W_{netto}$

Wskazówka: To jedno z najczęściej sprawdzanych rozumowań w termodynamice.

Praca w cyklu = pole prostokąta: $|W|=(3p_{1}-p_{1})(3V_{1}-2V_{1})=2p_{1}V_{1}$.

Związek między ciepłem pobranym, pracą i ciepłem oddanym: $|Q_{pob}|=|W|+|Q_{odd}|=2p_{1}V_{1}+11,5p_{1}V_{1}=13,5p_{1}V_{1}$.

$\eta=\dfrac{|W|}{|Q_{pob}|}=\dfrac{2p_{1}V_{1}}{13,5p_{1}V_{1}}\approx 0,148$ (ok. $14,8\%$).

Praca w cyklu = pole prostokąta: $W=\Delta p\cdot\Delta V=(3p_{1}-2p_{1})(3V_{1}-V_{1})=2p_{1}V_{1}$.

Ciepło pobrane (w przemianach, w których $T$ rośnie): $G_{1}\to G_{2}$ (izochora) $Q_{12}=\dfrac{3}{2}\cdot V_{1}(3p_{1}-2p_{1})=1,5p_{1}V_{1}$ oraz $G_{2}\to G_{3}$ (izobara, $C_{p}=\tfrac{5}{2}R$) $Q_{23}=\dfrac{5}{2}\cdot 3p_{1}(3V_{1}-V_{1})=15p_{1}V_{1}$.

$Q_{pob}=1,5p_{1}V_{1}+15p_{1}V_{1}=16,5p_{1}V_{1}$.

$\eta=\dfrac{W}{Q_{pob}}=\dfrac{2p_{1}V_{1}}{16,5p_{1}V_{1}}\approx 0,12$ (czyli ok. $12\%$).

Rozwiązanie

1. a) Najmniejsze $Q_{odd}$ → sprawność maksymalna (Carnota) $\eta_{max}=\tfrac{T_1-T_2}{T_1}=\tfrac{460}{750}\approx0{,}613$. Dla cyklu Carnota $\tfrac{Q_{odd}}{Q_{pob}}=\tfrac{T_2}{T_1}$, więc $Q_{odd}=100\cdot\tfrac{290}{750}\approx38{,}7$ J.
2. b) Sprawność żadnego silnika nie może przekroczyć sprawności silnika idealnego (II zasada termodynamiki), więc $Q_{odd}=Q_{pob}(1-\eta)\ge Q_{pob}\tfrac{T_2}{T_1}$ — istnieje wartość graniczna.

Rozwiązanie

1. Praca użyteczna: $W=34{,}8-8{,}7=26{,}1$ J.
2. $Q_{odd}=Q_{pob}-W=100-26{,}1=73{,}9$ J.

Rozwiązanie

$\eta_2=\dfrac{W}{Q_{pob}}=\dfrac{26{,}1}{100}\approx0{,}26$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Praca użyteczna = pole prostokąta $=(p_2-p_1)(V_2-V_1)$. Rozprężanie (2→3) zachodzi przy $p_2$: praca gazu $=p_2(V_2-V_1)$. Stosunek $=\dfrac{p_2-p_1}{p_2}=1-\dfrac{p_1}{p_2}=1-\dfrac14=\dfrac34$.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

1. 1–2 (izochora, $p$ rośnie) — gaz pobiera ciepło; 3–4 (izochora, $p$ maleje) — oddaje ciepło. Zdanie o obu przemianach → F.
2. Sprężanie 4–1 przy $p_1$: $|W|=p_1(V_2-V_1)$; rozprężanie 2–3 przy $p_2$: $p_2(V_2-V_1)$. Ponieważ $p_2>p_1$, praca w 2–3 jest większa → zdanie F.
3. Energia wewnętrzna jest funkcją stanu — po pełnym cyklu wraca do wartości początkowej → P.

Odpowiedź: F, F, P.

Rozwiązanie

1. Praca użyteczna: $W=(p_2-p_1)(V_2-V_1)$; ze sprawności $\eta=\dfrac{W}{Q_{pob}}\Rightarrow Q_{pob}=\dfrac{W}{\eta}$.
2. $Q_{odd}=Q_{pob}-W=W\left(\dfrac{1}{\eta}-1\right)=(p_2-p_1)(V_2-V_1)\cdot\dfrac{1-\eta}{\eta}$.

Rozwiązanie

1. Praca = pole prostokąta: silnik I $2V_1\cdot p_1=2p_1V_1$; silnik II $V_1\cdot2p_1=2p_1V_1$ → taka sama.
2. $T\propto pV$; max: silnik I w $(3V_1,2p_1)\to6p_1V_1$; silnik II w $(2V_1,3p_1)\to6p_1V_1$ → taka sama.

Odpowiedź: 1) taka sama jak; 2) taka sama jak.

Rozwiązanie

$\eta=\dfrac{W}{Q_{pob}}=\dfrac{Q_{pob}-Q_{odd}}{Q_{pob}}=\dfrac{23-19}{23}=\dfrac{4}{23}\approx0{,}17=17\%$.