Drgania harmoniczne

Okres: $T = \dfrac{25}{50} = 0{,}5\ \text{s}$. Częstotliwość: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2\ \text{Hz}$.

$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{s}$.

Okres $T = 2\ \text{s}$, więc częstotliwość $f = 0{,}5\ \text{Hz}$. W ciągu $60\ \text{s}$: $n = f\cdot t = 0{,}5\cdot 60 = 30$ drgań.

1. $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\sqrt{0{,}004}=2\pi\cdot0{,}0632\approx0{,}397$ s.

Odpowiedź: $T\approx0{,}4$ s

1. $T=2\pi\sqrt{\dfrac lg} \Rightarrow l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}=\dfrac{9{,}81\cdot4}{39{,}48}\approx0{,}994$ m.

Odpowiedź: $l\approx0{,}99$ m

1. Okres nie zależy od amplitudy, więc się nie zmienia.
2. Energia $E=\tfrac12kA^2$ rośnie czterokrotnie.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? Energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

1. 1. W skrajnym położeniu prędkość jest największa — fałsz, jest zerowa.
2. 2. W położeniu równowagi wypadkowa sił jest równa zero — prawda.
3. 3. W skrajnym położeniu wartość przyśpieszenia jest największa — prawda.

Odpowiedź: FPP

1. $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=4\pi\approx12{,}57\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
2. $v_{max}=\omega A=12{,}57\cdot0{,}05\approx0{,}628\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_{max}\approx0{,}63\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

1. Bilans energii: $\tfrac12kA^2=\tfrac12mv_{max}^2$.
2. $v_{max}=A\sqrt{\dfrac km}=0{,}06\sqrt{400}=0{,}06\cdot20=1{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_{max}\approx1{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

1. W równowadze $mg=k\Delta l \Rightarrow \dfrac mk=\dfrac{\Delta l}{g}$.
2. $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\Delta l}{g}}=2\pi\sqrt{0{,}008}\approx0{,}562$ s.

Odpowiedź: $T\approx0{,}56$ s

Wskazówka: Masa i $k$ osobno nie są potrzebne — wystarczy ich iloraz.

1. $\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{2{,}5}{40}=0{,}0625$ m.
2. Najniżej: $F=k(\Delta l+A)=40\cdot0{,}1225=4{,}9$ N.
3. Najwyżej: $F=k(\Delta l-A)=40\cdot0{,}0025=0{,}1$ N (sprężyna wciąż rozciągnięta).

Odpowiedź: $F_{góra}=0{,}1$ N; $F_{dół}=4{,}9$ N

1. $T=2\pi\sqrt{\dfrac lg}=2\pi\sqrt{0{,}1}\approx1{,}987$ s.
2. Wysokość podniesienia: $h=l(1-\cos10^\circ)=1-0{,}9848=0{,}0152$ m.
3. $v_{max}=\sqrt{2gh}=\sqrt{0{,}304}\approx0{,}551\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $T\approx1{,}99$ s; $v_{max}\approx0{,}55\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

1. Wydłużenie sprężyny zmienia się od $\Delta l-A$ (najwyżej) do $\Delta l+A$ (najniżej).
2. Siła sprężystości $F=k\cdot(\text{wydłużenie})$, więc stosunek wynosi $\dfrac{k(\Delta l+A)}{k(\Delta l-A)}=\dfrac{\Delta l+A}{\Delta l-A}$. $\blacksquare$
3. Dla danych: $\dfrac{0{,}14}{0{,}06}=\dfrac73\approx2{,}33$.

Odpowiedź: stosunek $=\dfrac{7}{3}\approx2{,}33$