Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie ostrosłupa.
Ostrosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(2n\) krawędzi. Skoro więc nasza bryła ma \(30\) krawędzi, to:
$$2n=30 \           ,\
n=15$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się piętnastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków.
Z własności ostrosłupów wiemy, że ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków. Skoro w naszej podstawie znajduje się piętnastokąt, to wierzchołków będziemy mieć \(15+1=16\).

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Musimy sprawdzić kiedy wyrażenie \(60+15k\) przyjmuje wartości dodatnie, czyli kiedy \(60+15k\) jest większe od \(0\). W związku z tym:
$$60+15k\gt0 \           ,\
15k\gt-60 \           ,\
k\gt-4$$

Wiemy już, że \(k\) musi być większe od \(-4\). Szukamy teraz najmniejszej liczby całkowitej, która spełnia tę nierówność. Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest \(-3\). Zwróć uwagę na to, że \(-4\) nie spełnia tej nierówności, bo muszą to być wartości większe od \(-4\).

Krok 2. Zapisanie liczby przeciwnej.
To jednak nie jest koniec zadania. Musimy jeszcze zapisać liczbę przeciwną do tej, którą uzyskaliśmy w pierwszym kroku. Liczbą przeciwną do \(-3\) jest oczywiście \(3\) i taka też jest odpowiedź do naszego zadania.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba opakowań piłeczek białych
\(x+5\) - liczba opakowań piłeczek pomarańczowych

Wiemy, że w każdym opakowaniu białych piłeczek jest \(6\) sztuk. Skoro mamy \(x\) takich pudełek, a w każdym jest \(6\) piłeczek, to łącznie białych piłeczek będzie \(6x\).
Wiemy też, że w każdym opakowaniu pomarańczowych piłeczek są \(4\) sztuki. Skoro mamy \(x+5\) takich pudełek, a w każdym są \(4\) piłeczki, to łącznie pomarańczowych piłeczek będzie \(4\cdot(x+5)\).

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że piłeczek białych oraz pomarańczowych jest taka sama ilość, czyli możemy zapisać następujące równanie:
$$6x=4\cdot(x+5) \           ,\
6x=4x+20 \           ,\
2x=20 \           ,\
x=10$$

Krok 3. Obliczenie liczby białych i pomarańczowych piłeczek.
Skoro poprzez \(x\) oznaczyliśmy sobie liczbę pudełek z białymi piłeczkami to wiemy już, że takich pudełek jest łącznie \(10\). W każdym pudełku jest \(6\) piłeczek, czyli łącznie białych piłeczek jest \(60\).

Pudełek z pomarańczowymi piłeczkami mamy \(x+5\), czyli będzie to \(10+5=15\) pudełek. W każdym pudełku znajdują się \(4\) piłeczki, zatem łącznie będzie to \(15\cdot4=60\).

Krok 4. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Z poprzedniego kroku wiemy, że mamy \(60\) piłeczek białych oraz \(60\) pomarańczowych, zatem wszystkich piłeczek jest łącznie:
$$60+60=120$$

Krok 5. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Przed chwilą obliczyliśmy sobie, że pudełek z białymi piłeczkami jest \(10\), a pudełek z pomarańczowymi jest \(15\). Pudełek z białymi piłeczkami jest więc o \(5\) mniej niż z pomarańczowymi, zatem jest ich mniej o \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\), czyli o jedną trzecią.

Tak na marginesie - bardzo łatwo tutaj o pomyłkę. Nie możemy zapisać, że pudełek z białymi piłeczkami jest mniej o \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), czyli o połowę, bo naszym punktem odniesienia są pudełka z pomarańczowymi piłeczkami (i dlatego to \(15\) jest w mianowniku, a nie \(10\)).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę obliczenie ile jest równe \(\frac{1,0\cdot10^{26}}{3,3\cdot10^{23}}\). Aby rozwiązać to działanie, to najprościej będzie zamienić sobie \(1,0\cdot10^{26}\) na \(10\cdot10^{25}\). Co nam da taka zamiana? Dzięki niej będziemy mogli skrócić liczbę \(10\) z liczbą \(3,3\) (w zaokrągleniu \(10:3,3\) będzie równe \(3\)) Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1,0\cdot10^{26}}{3,3\cdot10^{23}}=\frac{10\cdot10^{25}}{3,3\cdot10^{23}}\approx3\cdot10^{25-23}\approx3\cdot10^2\approx3\cdot100\approx300$$

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy poszczególnych pociągów.
Korzystając z informacji zawartych w tabelce możemy powiedzieć, że:
\(1.\) pociąg pokonuje trasę w \(50\) minut.
\(2.\) pociąg pokonuje trasę w \(61\) minut.
\(3.\) pociąg pokonuje trasę w \(50\) minut.
\(4.\) pociąg pokonuje trasę w \(57\) minut.

W tym momencie moglibyśmy się wykazać sprytem i od razu wskazać prawidłową odpowiedź do tego zadania. W każdej z odpowiedzi mamy wymienione dwa numery pociągów, czyli zgodnie z logiką - muszą to być te dwa pociągi, które naszą trasę pokonały najszybciej. Już po tak prostej analizie możemy stwierdzić, że na pewno prawidłową odpowiedzią do tego zadania jest odpowiedź druga. Spróbujmy jednak obliczyć to sobie nieco bardziej matematycznie.

Krok 2. Obliczenie oczekiwanego czasu jazdy przy prędkości \(50\frac{km}{h}\).
Możemy oczywiście obliczyć prędkość jazdy każdego z pociągów i sprawdzić kiedy pociąg porusza się z prędkością większą niż \(50\frac{km}{h}\). Jest to jednak dość czasochłonne, zwłaszcza że bazując na czasach z pierwszego kroku trzeba jeszcze zamienić minuty na godziny, zatem będziemy mieć w działaniach dość "brzydkie" liczby.

Znacznie łatwiej jest obliczyć w jakim czasie pociąg pokona tę trasę z prędkością \(50\frac{km}{h}\), co pozwoli nam później porównać ten czas do czasu jazdy naszych czterech pociągów. Korzystając ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \           ,\
s=v\cdot t \quad\bigg/:v \           ,\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz \(s=43km\) oraz \(v=50\frac{km}{h}\) otrzymamy:
$$t=\frac{43km}{50\frac{km}{h}} \           ,\
t=\frac{43}{50}h \           ,\
t=0,86h$$

Skoro godzina ma \(60\) minut, to:
$$t=0,86\cdot60min=51,6min$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy już, że pociąg pokona trasę \(43km\) ze średnią prędkością \(50\frac{km}{h}\) w ciągu \(51,6\) minuty. My chcemy, by ta średnia prędkość była wyższa, czyli czas jazdy musi być krótszy niż \(51,6\) minuty. Z tego też względu pociągami, które pojadą szybciej są pociągi o numerach \(1\) oraz \(3\).

Tak prawdę mówiąc nie musimy liczyć pole powierzchni jako takiej. Wystarczy, że sprawnie obliczymy liczbę "kwadracików" każdej z podstaw oraz ścian bocznych. Ta figura, która tych "kwadracików" będzie miała najwięcej, będzie miała jednocześnie największe pole powierzchni.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(4\) kwadraty. Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{I}=2\cdot16+4\cdot4 \           ,\
P_{I}=32+16 \           ,\
P_{I}=48$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(8\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(6\) kwadratów. Ale to nie koniec, bo mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej bryły - jak się dobrze przyjrzymy, to doliczymy się, że tych wewnętrznych kwadratów jest \(8\) (po dwa na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{II}=2\cdot8+4\cdot6+8 \           ,\
P_{II}=16+24+8 \           ,\
P_{II}=48$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(5\) kwadratów. I tu także mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej figury, a jest ich dokładnie \(12\) (po trzy na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{III}=2\cdot16+4\cdot5+12 \           ,\
P_{III}=32+20+12 \           ,\
P_{III}=64$$

To oznacza, że \(P_{I}=P_{II}\lt P_{III}\).

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Nie jest to krok konieczny, ale na pewno pomaga w zrozumieniu istoty zapisów, które pojawiają się w odpowiedziach i pozwala też szybko zweryfikować poprawność naszego wyboru. Skoro pierwiastek kwadratowy z \(a\) jest równy \(36\), to \(a\) jest równe \(36^2\), czyli \(1296\).

Krok 2. Sprawdzenie poprawności odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi.
Odp. A. To jest nieprawda, bo zgodnie z definicją pierwiastków, \(\sqrt{a^2}\) będzie równe \(|a|\), czyli w naszym przypadku byłoby to \(1296\). Tymczasem po prawej stronie równania mamy \(6^2\) które jest równe \(36\).
Odp. B. To prawda, co zresztą wykorzystaliśmy do poznania wartości tej liczby w pierwszym kroku.
Odp. C. To prawda, bowiem skoro pierwiastek z \(a\) to \(36\), to mamy ułamek \(\frac{36}{6}\), co faktycznie jest równe \(6\).
Odp. D. To prawda. Po lewej stronie równania pierwiastek z potęgą się skrócą, czyli zostanie nam \(a\) (o którym wiemy już, że to jest \(1296\)). Po prawej stronie mamy \(6^4\), co jest równe właśnie \(1296\).

Nieprawdziwa była więc pierwsza równość.

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Spójrzmy na biały trójkąt \(ADE\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny (bo kąt przy wierzchołku \(D\) jest kątem prostokąta). Odcinek \(AD\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(DE\) ma długość \(4cm\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$4^2+5^2=|AE|^2 \           ,\
16+25=|AE|^2 \           ,\
|AE|^2=41 \           ,\
|AE|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |AE|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AE|=\sqrt{41}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(BE\).
Spoglądamy na trójkąt \(BCE\). Sytuacja jest analogiczna do tej przed chwilą - to także jest trójkąt prostokątny i to właśnie z niego wyliczymy długość boku \(BE\). Odcinek \(BC\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(EC\) ma długość \(10cm-4cm=6cm\). W związku z tym:
$$6^2+5^2=|BE|^2 \           ,\
36+25=|BE|^2 \           ,\
|BE|^2=61 \           ,\
|BE|=\sqrt{61} \quad\lor\quad |BE|=-\sqrt{61}$$

Ujemny wynik także odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BE|=\sqrt{61}\).

Krok 3. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABE\) jest prostokątny.
Jeżeli trójkąt miałby być prostokątny to zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa \(|AE|^2+|BE|^2\) powinno być równe \(|AB|^2\). Jeżeli taka równość nie zajdzie, to trójkąt nie będzie prostokątny. Sprawdźmy zatem ile jest równe \(|AE|^2+|BE|^2\):
$$|AE|^2+|BE|^2=\sqrt{41}^2+\sqrt{61}^2=41+61=102$$

Teraz sprawdźmy ile jest równe \(|AB|^2\):
$$|AB|^2=10^2=100$$

Widzimy wyraźnie, że suma kwadratów potencjalnych długości przyprostokątnych jest większa niż kwadrat długości potencjalnej przeciwprostokątnej. Stąd też płynie wniosek, że ten trójkąt nie jest prostokątny, ponieważ \(|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2\).

Krok 1. Obliczenie współczynnika proporcji.
Podany przepis mówi nam, że do przygotowania pizzy potrzeba \(250g\) mąki. Skoro Ewa chce wykorzystać \(600g\), to znaczy że chce zrobić pizzę, która jest \(600:250=2,4\) razy większa. To oznacza, że każdego ze składników pizzy trzeba użyć w ilości \(2,4\) razy większej niż jest to podane w przepisie.

Krok 2. Obliczenie ilości wody oraz drożdży.
W przepisie mamy informację, że potrzebujemy \(150ml\) wody, a skoro musimy jej użyć \(2,4\) razy więcej, to zużyjemy jej:
$$150ml\cdot2,4=360ml$$

Analogicznie postąpimy z drożdżami. W przepisie jest informacja, że potrzebujemy \(7g\) drożdży instant, a skoro musimy ich użyć \(2,4\) razy więcej, to zużyjemy ich w ilości:
$$7g\cdot2,4=16,8g$$

Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(a\) oraz \(b\).
Zacznijmy od liczby \(a\). Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$7^7:7^2:7^5=7^{7-2}:7^5=7^5:7^5=1$$

Teraz obliczmy wartość liczby \(b\). Tutaj raczej problemów być nie powinno, bo po prostu \(\sqrt{9}=3\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(|a-b|\).
Wiemy już, że \(a=1\) oraz \(b=3\), zatem:
$$|a-b|=|1-3|=|-2|=2$$

Krok 1. Obliczenie liczby dni między datą urodzin taty oraz syna Mateusza.
Musimy obliczyć ile dni jest od \(17\) kwietnia do \(17\) lipca. Możemy to zrobić dowolnie wybraną przez siebie metodą, ale najbezpieczniej będzie chyba przeanalizować to w ten sposób:
• \(18\) kwietnia to \(1.\) dzień po urodzinach
• \(30\) kwietnia to \(13.\) dzień po urodzinach
• \(31\) maja to \(44.\) dzień po urodzinach
• \(30\) czerwca to \(74.\) dzień po urodzinach
• \(17\) lipca to \(91.\) dzień po urodzinach

Krok 2. Obliczenie liczby dni między datą urodzin taty oraz syna Szymona.
Rozpiszmy to tak samo jak przed chwilą, tyle że tym razem liczymy od \(17\) lipca do \(17\) października:
• \(18\) lipca to \(1.\) dzień po urodzinach
• \(31\) lipca to \(14.\) dzień po urodzinach
• \(31\) sierpnia to \(45.\) dzień po urodzinach
• \(30\) września to \(75.\) dzień po urodzinach
• \(17\) października to \(92.\) dzień po urodzinach

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Aby urodziny były w ten sam dzień tygodnia, to liczba dni dzieląca poszczególne urodziny musi być podzielna przez \(7\).

Urodziny taty od urodzin Mateusza dzieli \(91\) dni, czyli \(91:7=13\) pełnych tygodni. Tata z Mateuszem będą więc mieć urodziny w ten sam dzień tygodnia.

Urodziny taty od urodzin Szymona dzielą \(92\) dni, czyli \(13\) pełnych tygodni i jeszcze \(1\) dzień. Z tego też względu tata z Szymonem nie będą mieć urodzin tego samego dnia.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że w rogach rysunku mamy trójkąty prostokątne, których przyprostokątne mają długość \(20cm\). Wspominamy sobie o tych trójkątach, bowiem na obwód serwety składają się m.in. przeciwprostokątne tychże trójkątów (oznaczymy je sobie na szkicu jako \(x\)). Dodatkowo na dole i górze mamy fragmenty serwetki, które oznaczymy sobie jako \(y\). Całość na rysunku z oznaczeniami będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinków oznaczonych jako \(x\).
Na rysunku mamy cztery odcinki oznaczone jako \(x\), zatem obliczmy miarę każdego z takich boków. Możemy skorzystać tutaj wprost z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że \(20^2+20^2=x^2\), ale możemy też postąpić nieco sprytniej. Tak naprawdę nasze trójkąty prostokątne są klasycznymi trójkątami o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiemy to, bo przyprostokątne mają jednakową długość). Z własności takich trójkątów wynika, że ich przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od długości przyprostokątnych, zatem możemy zapisać od razu, że \(x=20\sqrt{2}cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinków oznaczonych jako \(y\).
Odcinki oznaczone jako \(y\) są dość proste do policzenia, bowiem będzie to długość \(100cm\), która jest pomniejszona z lewej i prawej strony o \(20cm\). Możemy więc zapisać, że:
$$y=100cm-2\cdot20cm \           ,\
y=100cm-40cm \           ,\
y=60cm$$

Krok 4. Obliczenie obwodu całej serwety.
Na obwód naszej serwety składają się cztery odcinki oznaczone jako \(x\) oraz dwa odcinki oznaczone jako \(y\), zatem:
$$Obw=4\cdot20\cdot{2}+2\cdot60 \           ,\
Obw=80\sqrt{2}+120[cm]$$

Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\) otrzymamy:
$$Obw\approx80\cdot1,4+120 \           ,\
Obw\approx112+120 \           ,\
Obw\approx232[cm]\approx2,32m$$

To oznacza, że tasiemka o długości \(2,5m\) jak najbardziej wystarczy do obszycia naszej serwety.

Krok 1. Obliczenie ceny pojedynczego wejścia na basen (bez karnetu).
Michał i tata korzystają z basenu przez \(60\) minut. To oznacza, że zgodnie z cennikiem muszą zapłacić za taki pobyt cenę za \(45\) minut plus opłaty za przekroczenie limitu o \(15\) minut. Spójrzmy jak to będzie wyglądać w praktyce:

Michał musi zapłacić \(6,50zł\) za \(45\) minut. Za przekroczenie czasu o \(15\) minut będzie musiał zapłacić dodatkowo \(3\cdot0,50zł=1,50zł\). Całe pojedyncze wyjście na basen kosztować więc będzie:
$$6,50zł+1,50zł=8zł$$

Tata musi zapłacić \(10zł\) za \(45\) minut. Za przekroczenie czasu o \(15\) minut będzie musiał zapłacić dodatkowo \(3\cdot1zł=3zł\). Całe pojedyncze wyjście na basen kosztować więc będzie:
$$10zł+3zł=13zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny biletów na \(11\) wejść na basen (bez karnetu).
Skoro cena biletu Michała wynosi \(8zł\), to na \(11\) wejść wyda on \(8zł\cdot11=88zł\).
Skoro cena biletu taty wynosi \(13zł\), to na \(11\) wejść wyda on \(13zł\cdot11=143zł\).

Krok 3. Analiza opłacalności karnetów.
Michał za karnet zapłacił \(90zł\). Gdyby kupował bilety oddzielnie, to zapłaciłby \(88zł\). W przypadku Michała karnet nie był więc opłacalny.

Tata za karnet zapłacił \(125zł\). Gdyby kupował bilety oddzielnie, to zapłaciłby \(143zł\). W przypadku taty karnet był więc opłacalny.

Krok 1. Dostrzeżenie, że boki \(EC\) oraz \(FC\) mają jednakową długość.
Spójrzmy na odcinki \(EC\) oraz \(FC\). Jeden i drugi to wysokości trójkątów równobocznych (\(ACD\) oraz \(ABC\)) o boku \(a=4cm\). To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku, że odcinki \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości (w dalszych krokach obliczymy sobie jaka jest to dokładnie długość). Póki co możemy zapisać, że \(|EC|=|FC|\). Mając tę informację wiemy już na pewno, że trójkąt \(EFC\) jest przynajmniej równoramienny (nie jesteśmy jeszcze pewni, czy jest równoboczny).

Krok 2. Dostrzeżenie, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).
Wysokość trójkąta równobocznego jest tak naprawdę dwusieczną kąta. Jeżeli więc spojrzymy np. na trójkąt \(ACD\), to stwierdzimy, że wysokość \(EC\) dzieli kąt przy wierzchołku \(C\) na dwa kąty o mierze \(30°\). Podobnie będzie w przypadku trójkąta \(ABC\). Na rysunku sytuacja będzie wyglądać następująco:


Możemy więc powiedzieć, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\).

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że trójkąt jest przynajmniej równoramienny, bo ramiona \(EC\) oraz \(FC\) są jednakowej długości. Wiemy też, że kąt \(ECF\) ma miarę \(60°\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. U nas oznaczałoby to, że kąty przy podstawie \(EF\) muszą mieć łączną miarę \(180°-60°=120°\), a to oznacza, że każdy z kątów przy podstawie musi mieć miarę:
$$120°:2=60°$$

Wyszło nam więc, że każdy kąt trójkąta \(EFC\) ma miarę \(60°\), zatem jest to trójkąt równoboczny.

Krok 4. Obliczenie długości boków trójkąta \(EFC\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy poznać długość boku trójkąta. Widzimy wyraźnie, że bok np. \(EC\) jest wysokością trójkąta równobocznego \(ACD\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|EC|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
|EC|=\frac{4\sqrt{3}}{2} \           ,\
|EC|=2\sqrt{3}[cm]$$

To oznacza, że każdy bok naszego trójkąta \(EFC\) ma długość \(2\sqrt{3}cm\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(EFC\).
Wiemy już, że bok tego trójkąta ma długość \(2\sqrt{3}cm\), zatem podstawiając te dane do wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=\frac{4\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \           ,\
P=3\sqrt{3}[cm^2]$$