Zadanie 7 Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - Nowa Era 2019 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z własności kątów wiemy, że kąt \(BAC\) oraz \(BDE\) będą miały jednakową miarę (są to kąty odpowiadające). Miarę kąta \(BDE\) możemy wyznaczyć w dość prosty sposób, bowiem tworzy on z kątem \(140°\) parę kątów przyległych. Wiedząc, że kąty przyległe mają miarę \(180°\) możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle BDE|=180°-140°=40°$$

Jak już ustaliliśmy, kąt \(BAC\) ma taką samą miarę co \(BDE\), zatem \(|\sphericalangle BAC|=40°\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że kąty \(BDE\) oraz \(BAC\) mają jednakową miarę (i wiemy nawet, że jest to dokładnie \(40°\)). Wiemy też z samego rysunku, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DBE\) mają jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\). Wniosek z tego płynie taki, że już w tym momencie mamy pewność, że ten duży i mały trójkąt mają jednakowe miary dwóch kątów, zatem i miara trzeciego kąta musi być jednakowa (nie ma innej możliwości, bo każdy trójkąt ma taką samą sumę wszystkich kątów). Zdanie jest więc prawdą.

Gdyby ktoś nie był jeszcze o tym przekonany, to zawsze można obliczyć miarę kąta przy wierzchołku \(B\). Z poprzedniego kroku wiemy, że zarówno kąty \(BDE\) jak i \(BAC\) mają miarę \(40°\), zatem patrząc się na trójkąt \(ABC\) możemy stwierdzić, że:
$$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-40°=95°$$

Teraz patrzymy się na trójkąt \(DBE\). Wiemy już, że kąt przy wierzchołku \(D\) ma miarę \(40°\), kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(95°\), zatem kąt przy wierzchołku \(E\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle DEB|=180°-40°-95°=45°$$

W tym momencie widzimy wyraźnie, że obydwa te trójkąty mają miary kątów \(40°, 45°, 95°\).

Tak na marginesie to zwróć uwagę na to, że rysunek szkicowy podany w treści zadania był sporą zmyłką, bo z rysunku nie wynika to, że kąt przy wierzchołku \(B\) jest rozwarty.