Powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{1681}=41\). Podstawiając tę informację do naszego równania otrzymamy:
$$|\sqrt{1681}-45|+\sqrt{1681}=|41-45|+41=|-4|+41=4+41=45$$

Z działu procentów wiemy, że obniżenie ceny o \(25\%\) sprawia, iż produkt kosztuje teraz \(0,75\) wartości początkowej. Możemy zatem zapisać, że po obniżce cena tego komputera wynosi:
$$0,75\cdot1968zł=1476zł$$

Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie, by najpierw obliczyć wysokość obniżki, a potem odliczyć ją od kwoty komputera. Moglibyśmy więc rozpisać to w taki sposób:
Wysokość obniżki wynosi: \(0,25\cdot1968zł=492zł\)
Nowa cena komputera wynosi: \(1968zł-492zł=1476zł\)

Do zadania można podejść na różne sposoby, więc pokażmy sobie różne metody rozwiązania takiego przykładu.

I sposób - rozwiązując każdy logarytm osobno.
Zacznijmy od liczby \(a\). Z własności potęg wiemy, że dwójkę stojącą przed logarytmem możemy przenieść w miejsce potęgi liczby logarytmowanej, dzięki czemu otrzymamy:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4=1$$

Logarytm \(b\) jest nieco trudniejszy, dlatego rozpiszmy go sobie w taki sposób, by przejść do postaci potęgowej:
$$log_{4}8=x \Rightarrow 4^x=8$$

Pamiętając o tym, że \(4=2^2\) oraz że \(8=2^3\), otrzymamy:
$$4^x=8 \           ,\
(2^2)^x=2^3 \           ,\
2^{2x}=2^3 \           ,\
2x=3 \           ,\
x=1,5$$

To oznacza, że \(b=log_{4}8=1,5\)

Teraz sprawa jest już prosta, bowiem skoro \(a=1\) oraz \(b=1,5\), to \(a-b=1-1,5=-\frac{1}{2}\).

II sposób - korzystając z działań na logarytmach
Rozpiszmy sobie logarytm \(a\), przenosząc dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4$$

Oczywiście wartość powyższego logarytmu jest równa \(1\), ale nam postać \(log_{4}4\) bardzo pasuje, bo użyjemy jej w odejmowaniu logarytmów, więc możemy ją tak zostawić. Korzystając ze wzoru \(log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}4-log_{4}8=log_{4}\frac{4}{8}=log_{4}\frac{1}{2}$$

Aby rozwiązać taki logarytm, najprościej będzie przejść do zapisu potęgowego:
$$log_{4}\frac{1}{2}=x \Rightarrow 4^x=\frac{1}{2}$$

Wiedząc, że \(\frac{1}{2}=2^1\) możemy zapisać, że:
$$4^x=\frac{1}{2} \           ,\
{(2^2)}^x=2^{-1} \           ,\
2^{2x}=2^{-1} \           ,\
2x=-1 \           ,\
x=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że \(a-b=-\frac{1}{2}\).

Krok 1. Uproszczenie zapisu liczby \(x\).
Zacznijmy od uproszczenia zapisu liczby \(x\), a dokładniej rzecz ujmując od usunięcia niewymierności z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik ułamka pomnożyć przez wartość znajdującą się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Obliczenia będą wyglądać następująco:
$$x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Krok 2. Podstawienie danych do wyrażenia.
Podstawiając wartość \(x\) do naszego wyrażenia bardzo wiele rzeczy zacznie się teraz skracać, a całość będzie wyglądać następująco:
$$x-1+\frac{1}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}= \           ,\
=\frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) możemy zapisać, że:
$$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$$

W związku z tym:
$$\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}$$

Widzimy, że potrzebujemy znać wartość \(sin^2\alpha\), a z treści zadania wiemy, że \(sin\alpha=\frac{3}{4}\). Podnieśmy zatem tę wartość do kwadratu, otrzymując:
$$sin^2\alpha=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \           ,\
sin^2\alpha=\frac{9}{16}$$

Podstawiając teraz tę wartość do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}=\frac{\frac{9}{16}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{9}{16}}{\frac{7}{16}}=\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{7}=\frac{9}{7}$$

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Obrazowo rzecz ujmując, musimy do wzoru funkcji podstawić \(x=\frac{3}{4}\) i sprawdzić, kiedy wartość tej funkcji będzie równa \(0\), zatem:
$$\left(\frac{5}{3}m-4\right)\cdot\frac{3}{4}+3m+6=0 \           ,\
\frac{15}{12}m-3+3m+6=0 \           ,\
1\frac{3}{12}m+3m+3=0 \           ,\
4\frac{1}{4}m+3=0 \           ,\
4\frac{1}{4}m=-3 \           ,\
\frac{17}{4}m=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{17} \           ,\
m=-\frac{12}{17}$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, a to oznacza, że bardzo szybko jesteśmy w stanie wyznaczyć jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+2021=0 \quad\lor\quad x-1=0 \           ,\
x=-2021 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Naszkicujmy parabolę, która jest wykresem naszej funkcji, zaznaczając oczywiście wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny (\(a=-4\)):


Krok 3. Wyznaczenie osi symetrii wykresu funkcji.
Oś symetrii paraboli ma tę własność, że przechodzi dokładnie między miejscami zerowymi funkcji. Naszą prostą wyznaczymy więc wyliczając średnią arytmetyczną dwóch miejsc zerowych:
$$\frac{-2021+1}{2}=\frac{-2020}{2}=-1010$$

To oznacza, że osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta \(x=-1010\).

Powinniśmy dostrzec, że wzór funkcji zapisany jest w postaci kanonicznej, czyli \(f(x)=a(x-p)^2+q\). To oznacza, że możemy odczytać ze wzoru współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\).
$$f(x)=-(x+4)^2+2 \           ,\
f(x)=-(x-(-4))^2+2$$

To oznacza, że \(p=-4\) oraz \(q=2\), czyli \(W=(-4;2)\). Taką sytuację mamy jedynie na czwartym rysunku.

W dodatku warto zauważyć, że nasza funkcja ma ujemny współczynnik kierunkowy (to przez minusa stojącego na przodzie), co potwierdza wybór wykresu, bowiem w takiej sytuacji parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy podstawić do układu równań \(x=2\) oraz \(y=1\), zatem:
\begin{cases} 2\cdot2-3\cdot1=a-b \quad , \\ 2\cdot2+3\cdot1=a+b \end{cases}

\begin{cases} 4-3=a-b \quad , \\ 4+3=a+b \end{cases}

\begin{cases} a-b=1 \quad , \\ a+b=7 \end{cases}

\begin{cases} a=1+b \quad , \\ a=7-b \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$1+b=7-b \           ,\
2b=6 \           ,\
b=3$$

Znamy już wartość \(b=3\), zatem podstawiając ją do jednego z równań np. \(a=1+b\), obliczymy poszukiwaną wartość \(a\):
$$a=1+b \           ,\
a=1+3 \           ,\
a=4$$

Aby rozwiązać to równanie, musimy działać dokładnie tak jak przy standardowym równaniu zapisanym w postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \           ,\
x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9 \           ,\
x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Naszym celem jest poznanie sumy wszystkich rozwiązań, zatem:
$$-2+3+(-3)=-2$$

Wbrew pozorom nie musimy wyznaczać równania tej prostej. Wystarczy pamiętać, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a skoro tak, to będziemy mogli skorzystać z własności prostych prostopadłych. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\), zatem druga (ta przez nas poszukiwana) musi mieć \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\).

Z proponowanych odpowiedzi tylko druga ma interesujący nas współczynnik kierunkowy, zatem bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że druga przekątna tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\).

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty najprościej będzie skorzystać z metody układu równań. W tym celu do równania \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(P\), a później punktu \(Q\), otrzymując:
\begin{cases} 3=-3a+b \quad , \\ -2=4a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$5=-7a \           ,\
a=-\frac{5}{7}$$

Znamy już wartość współczynnika \(a\), jednak to nie koniec, bo nas interesuje poznanie współczynnika \(b\). Podstawmy zatem obliczone \(a=-\frac{5}{7}\) do jednego z równań w układzie (np. do pierwszego), dzięki czemu otrzymamy:
$$3=-3a+b \           ,\
3=-3\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)+b \           ,\
3=\frac{15}{7}+b \           ,\
3=2\frac{1}{7}+b \           ,\
b=\frac{6}{7}$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy, że mimo "przerw" funkcja przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-4,3\rangle\).

Ze wzoru \(h(x)=f(x)+2\) wynika, że funkcja \(h(x)\) jest tak naprawdę przesunięciem funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w górę. Możemy to sobie nawet zobrazować na rysunku:


Miejsce zerowe to argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli tak naprawdę interesuje nas miejsce przecięcia się wykresu z osią \(OX\). Z rysunku szkicowego wynika wprost, że tym argumentem będzie \(x=7\).

Przy okazji zwróć uwagę, że \(x=-3\) nie jest miejscem zerowym, bo mamy tutaj niezamalowaną kropkę, więc ten punkt nie należy do wykresu funkcji.

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}+3r\). Skoro tak, to w podanej w zadaniu równości podstawmy pod \(a_{5}\) wartość \(a_{2}+3r\) i rozwiążmy powstałe równanie:
$$a_{2}+20=a_{2}+3r+50 \           ,\
20=3r+50 \           ,\
-30=3r \           ,\
r=-10$$

Do zadania możemy podejść na różne sposoby.

I sposób - dla spostrzegawczych.
Moglibyśmy dostrzec, że trzeci wyraz \(x+1\) jest \(4\) razy mniejszy od pierwszego wyrazu \(4x+4\), a to znacząco uprości obliczenia. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{3}=a_{1}\cdot q^2\), a więc \(q^2=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). Skoro tak, to:
$$q^2=\frac{x+1}{4x+4} \           ,\
q^2=\frac{x+1}{4\cdot(x+1)} \           ,\
q^2=\frac{1}{4} \           ,\
q=\frac{1}{2} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{2}$$

Ujemne \(q\) odrzucamy, bo dla ujemnego \(q\) nigdy nie otrzymamy ciągu o dodatnich wyrazach (a zgodnie z treścią zadania - ciąg ma mieć wszystkie wyrazy dodatnie). Zostaje nam więc \(q=\frac{1}{2}\).

II sposób - korzystając z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego wzoru wartości naszych wyrazów, otrzymamy:
$$(x+3)^2=(4x+4)\cdot(x+1) \           ,\
x^2+6x+9=4x^2+4x+4x+4 \           ,\
x^2+6x+9=4x^2+8x+4 \           ,\
-3x^2-2x+5=0$$

Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta.

Współczynniki: \(a=-3,\;b=-2,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-3)\cdot5=4-(-60)=4+60=64 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-8}{2\cdot(-3)}=\frac{2-8}{-6}=\frac{-6}{-6}=1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+8}{2\cdot(-3)}=\frac{2+8}{-6}=\frac{10}{-6}=-1\frac{2}{3}$$

Z otrzymanych rozwiązań pasuje nam jedynie \(x=1\), bo tylko wtedy nasze wyrazy będą dodatnie. Podstawmy zatem \(x=1\) do naszych wyrazów:
$$a_{1}=4x+4=4+4=8 \           ,\
a_{2}=x+3=1+3=4 \           ,\
a_{3}=x+1=1+1=2$$

Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów, obliczenie \(q\) jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{4}{8} \           ,\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCA\).
Spójrzmy na trójkąt \(CAD\). Znamy miary dwóch kątów tego trójkąta, zatem i trzecią obliczymy bez problemu:
$$|\sphericalangle DCA|=180°-110°-28° \           ,\
|\sphericalangle DCA|=42°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(\alpha\).
Jeżeli się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że zarówno kąt \(DCA\) jak i kąt \(\alpha\) są kątami wpisanymi, które są oparte na tym samym łuku. Z własności kątów wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji miara kątów jest jednakowa, stąd też \(\alpha=42°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(BCD\) oraz \(CAD\) są trójkątami podobnymi. Skąd to wiemy? Jeżeli kąt \(CBD\) oznaczymy sobie jako \(\alpha\), to kąt \(BCD\) ma miarę \(90°-\alpha\).

To z kolei prowadzi nas do wniosku, że skoro kąt \(BCA\) jest kątem prostym, to miara kąta \(DCA\) będzie równa:
$$|\sphericalangle DCA|=90°-|\sphericalangle BCD| \           ,\
|\sphericalangle DCA|=90°-(90°-\alpha) \           ,\
|\sphericalangle DCA|=\alpha$$

Skoro \(|\sphericalangle DCA|=\alpha\) to kąt \(CAD\) ma miarę \(90°-\alpha\), czyli taką jak kąt \(BCD\).


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Zastanówmy się teraz jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów. Szukamy długości boków odpowiadających i widzimy, że taką parę stanowią jedne z przyprostokątnych tych dwóch trójkątów, czyli \(BD\) oraz \(DC\), które mają długości równe \(3\) oraz \(4\). Przyjmując, że trójkąt \(CAD\) jest trójkątem podobnym do \(BCD\) możemy zapisać, że w takim razie skala podobieństwa wynosi \(k=\frac{4}{3}\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCD\).
Zanim wykorzystamy własności trójkątów podobnych, to obliczmy miarę trójkąta \(BCD\). Znamy wszystkie miary tego trójkąta, więc nie będzie z tym żadnego problemu:
$$P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3 \           ,\
P_{BCD}=6$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(CAD\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że przy skali podobieństwa równej \(k\), trójkąt podobny ma pole powierzchni \(k^2\) razy większe od trójkąta podstawowego. Skoro tak, to:
$$P_{CAD}=k^2\cdot P_{BCD} \           ,\
P_{CAD}=\left(\frac{4}{3}\right)^2\cdot6 \           ,\
P_{CAD}=\frac{16}{9}\cdot6 \           ,\
P_{CAD}=\frac{96}{9}=10\frac{6}{9}=10\frac{2}{3}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Na koniec została już tylko formalność, bowiem suma pól trójkątów \(BCD\) oraz \(CAD\) daje nam poszukiwane pole powierzchni trójkąta \(ABC\):
$$P_{ABC}=P_{BCD}+P_{CAD} \           ,\
P_{ABC}=6+10\frac{2}{3} \           ,\
P_{ABC}=16\frac{2}{3}$$

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
W trójkącie \(ABC\) różnica między długością najdłuższego i najkrótszego boku jest równa \(12-6=6\). Z treści zadania wynika, że w trójkącie PQR ta różnica jest większa i wynosi \(9\). Skoro są to trójkąty podobne, to na podstawie tej informacji możemy wysnuć wniosek, że skala podobieństwa trójkąta \(PQR\) do trójkąta \(ABC\) będzie równa:
$$k=\frac{9}{6} \           ,\
k=1,5$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(PQR\).
Trójkąt \(ABC\) ma obwód równy:
$$Obw_{ABC}=12+6+10=28$$

Z własności trójkątów podobnych wynika, że trójkąt \(PQR\) będzie miał ten obwód \(k\) razy większy, a skoro \(k=1,5\), to:
$$Obw_{PQR}=k\cdot Obw_{ABC} \           ,\
Obw_{PQR}=1,5\cdot28 \           ,\
Obw_{PQR}=42$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Na początek obliczmy długość odcinka \(AS\), czyli tak naprawdę połowę długości przekątnej kwadratu. Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \           ,\
|AS|=\sqrt{(0-(-4))^2+(4-1)^2} \           ,\
|AS|=\sqrt{4^2+3^2} \           ,\
|AS|=\sqrt{16+9} \           ,\
|AS|=\sqrt{25} \           ,\
|AS|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Skoro obliczony odcinek \(|AS|\) ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, to cała przekątna będzie mieć miarę:
$$d=2\cdot|AS| \           ,\
d=2\cdot5 \           ,\
d=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Przekątna naszego kwadratu ma długość \(10\), zatem:
$$a\sqrt{2}=10 \           ,\
a=\frac{10}{\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{10\sqrt{2}}{2} \           ,\
a=5\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie obwodu kwadratu.
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu kwadratu:
$$Obw=4\cdot5\sqrt{2} \           ,\
Obw=20\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie objętości stożka.
Na początek obliczmy objętość wydrążonego stożka. Wiemy, że \(r=2\) oraz \(H=3\), zatem:
$$V_{s}=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \           ,\
V_{s}=\frac{1}{3}\cdot2^2\cdot\pi\cdot3 \           ,\
V_{s}=\frac{1}{3}\cdot4\pi\cdot3 \           ,\
V_{s}=4\pi$$

Krok 2. Obliczenie objętości walca.
Teraz obliczmy objętość walca, podstawiając do stosownego wzoru \(r=2\) oraz \(H=4\):
$$V_{w}=P_{p}\cdot H \           ,\
V_{w}=2^2\cdot\pi\cdot4 \           ,\
V_{w}=4\pi\cdot4 \           ,\
V_{w}=16\pi$$

Krok 3. Obliczenie objętości powstałej bryły.
Interesująca nas objętość bryły będzie różnicą między objętością walca i stożka, zatem:
$$V=V_{w}-V_{s} \           ,\
V=16\pi-4\pi \           ,\
V=12\pi$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację, zaznaczając odpowiednie miary na graniastosłupie:


Kluczową obserwacją jest dostrzeżenie, że tak naprawdę długość przekątnej podstawy jest równa wysokości graniastosłupa. Skąd to wiemy? Zaznaczony na rysunku trójkąt to charakterystyczny trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) a więc trójkąt równoramienny.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
W podstawie mamy kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że ich przekątną można obliczyć ze wzoru \(d=a\sqrt{2}\). Skoro krawędź podstawy ma długość \(a=\sqrt{8}\), to:
$$d=a\sqrt{2} \           ,\
d=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2} \           ,\
d=\sqrt{16} \           ,\
d=4$$

Tym samym, zgodnie z informacją omówioną w kroku pierwszym, możemy zapisać, że także \(H=4\).

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Obliczenie objętości jest już tylko formalnością:
$$V=P_{p}\cdot H \           ,\
V=\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\cdot4 \           ,\
V=8\cdot4 \           ,\
V=32$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie prostopadłościan i zastanówmy się, co tak naprawdę wynika z treści zadania:


Nie jest istotne jakimi symbolami opiszemy te ściany. Ważne jest to, że powstaną nam tak naprawdę trzy różne prostokąty, których pola zapisane są w treści zadania. Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy ułożyć trzy następujące równania, które stworzą nam tym samym układ równań:
\begin{cases} a\cdot b=18 \quad , \\ b\cdot c=36 \quad , \\ a\cdot c=72 \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie układu równań. Jest wiele dróg na dojście do wyniku, ale najprościej będzie chyba przekształcić pierwsze i drugie równanie w taki sposób:
\begin{cases} a=\frac{18}{b} \quad , \\ c=\frac{36}{b} \quad , \\ a\cdot c=72 \end{cases}

Podstawmy teraz do trzeciego równania to, co otrzymaliśmy w równaniu pierwszym i drugim:
$$\frac{18}{b}\cdot\frac{36}{b}=72 \           ,\
\frac{648}{b^2}=72 \           ,\
72b^2=648 \           ,\
b^2=9 \           ,\
b=3 \quad\lor\quad b=-3$$

Oczywiście ujemną długość musimy odrzucić, więc zostaje nam \(b=3\). Teraz korzystając z odpowiednich równań z układu, możemy dojść do brakujących długości \(a\) oraz \(c\):
$$a\cdot b=18 \           ,\
a\cdot3=18 \           ,\
a=6$$

$$b\cdot c=36 \           ,\
3\cdot c=36 \           ,\
c=12$$

Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając wszystkie długości boków prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=6\cdot3\cdot12 \           ,\
V=216$$

Z treści zadania wynika, że mamy \(64\) osoby, czyli jest to parzysta liczba. To oznacza, że jak uporządkujemy wyniki zapisane w tabeli, to medianą będzie średnia arytmetyczna między wynikiem osoby numer \(32\) oraz \(33\).

Aby dobrze sobie uzmysłowić tę sytuację to możemy powiedzieć, że zestaw liczb z którego chcemy policzyć medianę wygląda mniej więcej w ten sposób:
$$0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,...,5,5,5$$

Nas interesuje wartość wyrazu numer \(32\) oraz \(33\). Oczywiście nie będziemy wypisywać ponad trzydziestu liczb. Wystarczy zauważyć, że osób które mają \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\) lata nauki mamy \(11+6+5+10=32\). To prowadzi nas do wniosku, że trzydziesta druga osoba ma \(3\) lata nauki, a trzydziesta trzecia ma \(4\) lata. Skoro tak, to mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2} \           ,\
m=\frac{7}{2} \           ,\
m=3,5$$

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Korzystając z informacji z treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba kul czarnych
\(x+6\) - liczba kul białych
\(x+x+6=2x+6\) - liczba wszystkich kul

Dodatkowo wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{2}{3}\).

Krok 2. Obliczenie liczby kul w pojemniku.
Skoro białych kul mamy \(x+6\), wszystkich kul jest \(2x+6\), a szanse na wylosowanie białej kuli wynoszą \(\frac{2}{3}\), to możemy zapisać, że:
$$\frac{x+6}{2x+6}=\frac{2}{3}$$

To równanie najprościej będzie rozwiązać wykonując tak zwane mnożenie na krzyż:
$$(x+6)\cdot3=(2x+6)\cdot2 \           ,\
3x+18=4x+12 \           ,\
-x=-6 \           ,\
x=6$$

I tutaj uwaga - zgodnie z naszymi oznaczeniami, \(x\) jest liczbą czarnych kul, a nas interesuje liczba wszystkich kul w pojemniku. Wszystkich kul jest \(2x+6\), zatem jest ich \(2\cdot6+6=12+6=18\).

Tę nierówność możemy rozwiązać na różne sposoby, oto dwa z nich:

I sposób - korzystając z delty

Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Na początek spróbujmy doprowadzić zapis do postaci ogólnej, a w tym celu musimy wymnożyć wszystkie wyrazy znajdujące się po lewej stronie. Przyda nam się tu przy okazji wzór skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), zatem:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0 \           ,\
4x^2-4x+1-(8x-4)\gt0 \           ,\
4x^2-4x+1-8x+4\gt0 \           ,\
4x^2-12x+5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-8}{2\cdot4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+8}{2\cdot4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem przyglądamy się temu co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)$$

II sposób - wyłączając wspólny czynnik przed nawias

Krok 1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
Jeśli przyjrzymy się tej nierówności to zauważymy, że wspólnym elementem \((2x-1)^2\) oraz \(4(2x-1)\) jest \(2x-1\). Skoro tak, to możemy wyłączyć tę wartość przed nawias. Cały proces będzie wyglądał następująco:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0 \           ,\
(2x-1)\cdot(2x-1)-4(2x-1)\gt0 \           ,\
(2x-1-4)\cdot(2x-1)\gt0 \           ,\
(2x-5)\cdot(2x-1)\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mając taki zapis, poznanie miejsc zerowych jest bardzo proste, ponieważ wystarczy zachować się tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$2x-5=0 \quad\lor\quad 2x-1=0 \           ,\
2x=5 \quad\lor\quad 2x=1 \           ,\
x=2\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

Cała reszta rozwiązania jest już taka sama jak w trzecim i czwartym kroku I sposobu. Wyjdzie nam więc, że \(x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)\).

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy bez problemu zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Podstawiając \(p=1\) oraz \(q=-8\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \           ,\
f(x)=a\cdot(x-1)^2+(-8)$$

Ze wzoru podanego w treści zadania wynika, że \(a=2\), zatem możemy jeszcze zapisać, że:
$$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8$$

Krok 2. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Celem zadania jest poznanie wzoru w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), bo tylko wtedy będziemy w stanie podać wartość współczynników \(b\) i \(c\). W tym celu wystarczy po prostu wykonać mnożenie i potęgowanie, które znalazło się w postaci kanonicznej. Całość będzie wyglądać następująco:
$$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8 \           ,\
f(x)=2\cdot(x^2-2x+1)-8 \           ,\
f(x)=2x^2-4x+2-8 \           ,\
f(x)=2x^2-4x-6$$

To oznacza, że \(b=-4\) oraz \(c=-6\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pojemniku mamy \(3\) kule czerwone i \(3\) białe, czyli łącznie jest to \(6\) kul. Losujemy dwie kule (bez zwracania), zatem w pierwszym losowaniu mamy możliwość wylosowania jednej z sześciu kul, a w drugim losowaniu jednej z pięciu kul. To z kolei oznacza, że wszystkich możliwości wylosowania kul mamy zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=6\cdot5=30\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zadanie jest dość podchwytliwe. To nie jest typowa sytuacja, dlatego musimy sobie to wszystko bardzo dokładnie rozpisać. Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kul, które mają taki sam kolor lub numer. Wypiszmy sobie zatem te zdarzenia, dzieląc je na dwie grupy - te, które pasują nam ze względu na kolor oraz te, które pasują ze względu na numer

Ze względu na kolor:
$$(1c,2c); (1c,3c); (2c,1c); (2c,3c); (3c,1c); (3c,2c) \           ,\
(1b,2b); (1b,3b); (2b,1b); (2b,3b); (3b,1b); (3b,2b)$$

Ze względu na numer:
$$(1c;1b), (2c;2b), (3c;3b) \           ,\
(1b;1c), (2b;2c), (3b;3c)$$

Łącznie mamy \(12\) zdarzeń sprzyjających ze względu na kolor i \(6\) zdarzeń sprzyjających ze względu na numer. Łącznie tych zdarzeń jest więc \(|A|=12+6=18\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$

Przekształcając nierówność otrzymamy następujący zapis:
$$\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot9 \           ,\
x+\frac{36}{x}\le-12 \quad\bigg/\cdot x \           ,\
x^2+36\ge-12x \           ,\
x^2+12x+36\ge0 \           ,\
(x+6)^2\ge0$$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa \(0\), zatem nasze dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro trójkąty \(ACE\) i \(BDF\) są równoboczne (czyli mają wszystkie kąty o mierze \(60°\)), a przekątne kwadratu tworzą z bokami kąty \(45°\), to sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie miar poszczególnych kątów.
Korzystając z rysunku możemy teraz obliczyć miarę np. kąta \(CDF\):
$$|\sphericalangle CDF|=60°-45°=15°$$

Można więc powiedzieć, że w takim razie w trójkącie równoramiennym \(CDG\) kąty przy podstawie mają \(15°\), zatem kąt \(CGD\) ma:
$$|\sphericalangle CGD|=180°-15°-15°=150°$$

Spójrzmy teraz na kąt \(CGF\). Jest on kątem przystającym do kąta \(CGD\), zatem jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle CGF|=180°-150°=30°$$

Bardzo podobnie możemy obliczyć miarę kąta \(FCG\).
$$|\sphericalangle FCG|=180°-45°-15°=120°$$

I teraz spoglądamy na trójkąt \(CGF\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie i są to kąty o mierze \(30°\) oraz \(120°\), zatem trzeci kąt ma miarę:
$$|\sphericalangle FCG|=180°-120°-30°=30°$$

To oznacza, że kąty przy boku \(FG\) mają jednakową miarę, czyli że trójkąt \(CGF\) jest równoramienny. Skoro tak, to faktycznie \(|CG|=|CF|\), co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dla lepszego zobrazowania sytuacji, narysujmy sobie układ współrzędnych z zaznaczonymi informacjami z treści zadania:


Z rysunku jasno wynika, że kluczem do sukcesu będzie najpierw poznanie równania prostej \(AB\), a następnie odszukanie prostej prostopadłej, która przechodzi przez punkt \(C\). To właśnie pozwoli nam na wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), możemy bez problemu wyznaczyć wzór prostej \(AB\), która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z bardzo rozbudowanego wzoru z tablic lub z metody układu równań. Jednak nam tak naprawdę wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej, bo to właśnie jego potrzebujemy do dalszego rozwiązywania. Możemy więc skorzystać ze wzoru na współczynnik \(a\), czyli:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \           ,\
a=\frac{5-1}{6-3} \           ,\
a=\frac{4}{3}$$

Oczywiście jeśli nie pamiętamy o tym wzorze, to możemy wyznaczyć ten współczynnik \(a\) w standardowy sposób, czyli w trakcie wyznaczania równania prostej. W tym celu do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem współrzędne punktu \(B\), otrzymując takie oto dwa równania:
\begin{cases} 1=3a+b \quad , \\ 5=6a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-4=-3a \           ,\
a=\frac{4}{3}$$

Współczynnika \(b\) nie musimy już wyznaczać, wystarczy nam informacja, że \(a=\frac{4}{3}\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Prosta \(AC\) musi być prostopadła do \(AB\). Z własności prostych wiemy, że aby tak się stało, to iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy \(a=\frac{4}{3}\), to prosta \(AC\) będzie mieć \(a=-\frac{3}{4}\), bo \(-\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=-1\).

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Musimy jeszcze odnaleźć brakujący współczynnik \(b\) tej prostej, a dokonamy tego, podstawiając do tego równania współrzędne znanego nam punktu, który do tej prostej należy, czyli w tym przypadku punktu \(A\), zatem:
$$y=-\frac{3}{4}x+b \           ,\
1=-\frac{3}{4}\cdot3+b \           ,\
1=-\frac{9}{4}+b \           ,\
b=3\frac{1}{4}$$

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+3\frac{1}{4}\).

Krok 4. Ustalenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) leży na osi \(Oy\), zatem na pewno współrzędna \(x=0\). Współrzędną \(y\) możemy w takim razie odczytać wprost z równania prostej \(AC\) - jest ona równa współczynnikowi \(b\), czyli jest równa \(3\frac{1}{4}\). Jeśli o tej własności nie pamiętamy, to możemy po prostu podstawić \(x=0\) do wzoru prostej \(y=-\frac{3}{4}x+3\frac{1}{4}\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{3}{4}\cdot0+3\frac{1}{4} \           ,\
y=0+3\frac{1}{4} \           ,\
y=3\frac{1}{4}$$

To oznacza, że poszukiwane współrzędne to \(C=\left(0;3\frac{1}{4}\right)\).

Krok 1. Rozpisanie sumy dwudziestu jeden wyrazów.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu. Nasz ciąg ma \(21\) wyrazów, zatem \(n=21\). Wiemy też, że suma tych wyrazów jest równa \(147\). Podstawiając te informacje do wzoru, otrzymamy taki oto zapis:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\
S_{21}=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21 \           ,\
147=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21 \           ,\
7=\frac{a_{1}+a_{21}}{2} \           ,\
a_{1}+a_{21}=14$$

Z własności ciągów wiemy, że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Skoro tak, to możemy kontynuować obliczenia i zapisać, że:
$$a_{1}+a_{21}=14 \           ,\
a_{1}+a_{1}+20r=14 \           ,\
2a_{1}+20r=14 \           ,\
a_{1}+10r=7$$

Krok 2. Zapisanie równania po odjęciu dwóch początkowych i trzech końcowych wyrazów.
Z treści zadania wynika, że kiedy odjęliśmy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy, to suma wszystkich wyrazów zmalała do \(108\), czyli zmalała o \(147-108=39\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$a_{1}+a_{2}+a_{19}+a_{20}+a_{21}=39$$

Póki co mamy bardzo dużo niewiadomych, więc spróbujmy uprościć cały zapis. Korzystając z własności ciągu, możemy teraz rozpisać, że np. \(a_{2}=a_{1}+r\) albo też \(a_{21}=a_{1}+20r\). Nasz zapis możemy więc przekształcić do następującej postaci:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39 \           ,\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39 \           ,\
5a_{1}+58r=39$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z pierwszego kroku wiemy już, że \(a_{1}+10r=7\), a z drugiego wiemy, że \(5a_{1}+58r=39\). Mamy więc dwa równania i dwie niewiadome, zatem z pomocą może nam przyjść układ równań:
\begin{cases} a_{1}+10r=7 \quad , \\ 5a_{1}+58r=39 \end{cases}

\begin{cases} a_{1}=7-10r \quad , \\ 5a_{1}+58r=39 \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy teraz podstawić pierwsze równanie do drugiego i zapisać, że:
$$5\cdot(7-10r)+58r=39 \           ,\
35-50r+58r=39 \           ,\
35+8r=39 \           ,\
8r=4 \           ,\
r=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając z wybranego równania np. \(a_{1}+10r=7\), możemy podstawić \(r=\frac{1}{2}\) i obliczyć wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}+10r=7 \           ,\
a_{1}+10\cdot\frac{1}{2}=7 \           ,\
a_{1}+5=7 \           ,\
a_{1}=2$$

Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Znając \(r=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{1}=2\), możemy bez przeszkód wyznaczyć wzór ogólny ciągu, podstawiając te dwie dane do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \           ,\
a_{n}=2+(n-1)\cdot\frac{1}{2} \           ,\
a_{n}=2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \           ,\
a_{n}=\frac{1}{2}n+1\frac{1}{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro punkt \(E\) przecina odcinek \(AD\) w połowie długości, a bok \(EF\) jest prostopadły do boku \(AD\), to łącząc punkty \(A\) z \(F\) oraz \(D\) z \(F\) otrzymamy tak naprawdę trójkąt równoramienny \(AFD\), którego wysokością jest odcinek \(EF\):


A skąd wiemy, że jest to trójkąt równoramienny? Możemy być tego pewni, ponieważ wysokość trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, a to charakterystyczny element trójkątów równoramiennych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AF\) oraz \(DF\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABF\). To właśnie z tego trójkąta jesteśmy w stanie obliczyć długość odcinka \(AF\), korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$13^2+1^2=|AF|^2 \           ,\
169+1=|AF|^2 \           ,\
|AF|^2=170 \           ,\
|AF|=\sqrt{170} \quad\lor\quad |AF|=-\sqrt{170}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że zarówno \(|AF|=\sqrt{170}\) jak i \(|DF|=\sqrt{170}\). Póki co możemy te wyniki zostawić w takiej postaci.

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(CF\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(DCF\). Jest to także trójkąt prostokątny, znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem z pomocą po raz kolejny przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa:
$$11^2+|CF|^2=(\sqrt{170})^2 \           ,\
121+|CF|^2=170 \           ,\
|CF|^2=49 \           ,\
|CF|=7 \quad\lor\quad |CF|=-7$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|CF|=7\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(BC\).
Jest to trapez prostokątny, zatem bok \(BC\) będzie jednocześnie wysokością naszej figury. Skoro znamy długości odcinków \(|BF|=1\) oraz \(|CF|=7\), to wyznaczenie długości boku \(BC\) jest formalnością:
$$|BC|=|BF|+|CF| \           ,\
|BC|=1+7 \           ,\
|BC|=8$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Mamy wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola trapezu, ponieważ znamy długości obydwu podstaw oraz wysokości. W związku z tym:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \           ,\
P=\frac{1}{2}(13+11)\cdot8 \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot24\cdot8 \           ,\
P=12\cdot8 \           ,\
P=96$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek kluczowe informacje, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
h_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \           ,\
h_{p}=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(OD\).
Wysokość ostrosłupa \(SO\) dzieli nam wysokość podstawy na dwie równe części (tak wynika wprost z zadania). Każda z tych części ma długość \(\frac{1}{2}h_{p}\). Skoro tak, to odcinek \(OD\) będzie mieć długość:
$$|OD|=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3} \           ,\
|OD|=\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCS\).
Trójkąt \(BCS\) jest także trójkątem równobocznym o boku \(a=4\) (wynika to z zadania). Jego wysokość obliczymy więc dokładnie tak samo, jak wysokość \(h_{p}\), zatem:
$$h_{b}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
h_{b}=\frac{4\sqrt{3}}{2} \           ,\
h_{b}=2\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spoglądamy teraz na kluczowy trójkąt prostokątny \(SOD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć wysokość ostrosłupa:
$$(\sqrt{3})^2+H^2=(2\sqrt{3})^2 \           ,\
3+H^2=4\cdot3 \           ,\
3+H^2=12 \           ,\
H^2=9 \           ,\
H=3 \quad\lor\quad H=-3$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=3\).

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=4\sqrt{3}$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy, że \(P_{p}=4\sqrt{3}\). Wysokość ostrosłupa też już znamy, bowiem \(H=3\). Możemy zatem przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot3 \           ,\
V=4\sqrt{3}$$

Krok 8. Obliczenie długości krawędzi \(AS\).
Spoglądamy tym razem na trójkąt prostokątny \(AOS\). Odcinek \(AO\) będzie taki sam jak \(OD\), czyli ma długość \(|AS|=\sqrt{3}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=3\), zatem ponownie możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że:
$$(\sqrt{3})^2+3^2=|AS|^2 \           ,\
3+9=|AS|^2 \           ,\
|AS|^2=12 \           ,\
|AS|=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$

Krok 9. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABS\) (oraz \(ACS\)).
Trójkąt \(ABS\) jest trójkątem równoramiennym (takim obróconym), w którym podstawa \(|AS|=2\sqrt{3}\), a ramiona \(|AB|=4\) oraz \(|BS|=4\).


Musimy poznać pole tego trójkąta, a do tego potrzebujemy wysokości. Wiemy, że w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części (patrz rysunek), tworząc nam tym samym kolejne trójkąty prostokątne. Ponownie z pomocą przyjdzie nam więc Twierdzenie Pitagorasa:
$$(\sqrt{3})^2+h^2=4^2 \           ,\
3+h^2=16 \           ,\
h=\sqrt{13}$$

To oznacza, że pole trójkąta \(ABS\) będzie równe:
$$P_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13} \           ,\
P_{ABS}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{13} \           ,\
P_{ABS}=\sqrt{39}$$

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie \(ACS\) (tutaj także mamy podstawę \(|AS|=2\sqrt{3}\) oraz ramiona \(|AC|=4\) oraz \(|CS|=4\)), zatem także \(P_{ACS}=\sqrt{39}\).

Krok 10. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Podsumowując - nasz trójkąt składa się z dwóch trójkątów równobocznych o polu \(4\sqrt{3}\) (wyliczyliśmy to w szóstym kroku) oraz dwóch trójkątów o polu \(\sqrt{39}\) (wyliczyliśmy to w dziewiątym kroku). Skoro tak, to pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\sqrt{39}+\sqrt{39}=8\sqrt{3}+2\sqrt{39}$$