Grawitacja, satelity i prawa Keplera — klucz maturalny, poziom rozszerzony
PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość5/5arkuszy 2022–2026
Punkty w arkuszuśr. 6,2 pkt (5–7)
Formy zadańwiązka 4 zadań za 5–7 pkt: P/F, rysunek wektora, III prawo Keplera, prędkości w peryhelium i aphelium
🔑 Sygnał: Elipsa → półoś wielka i $v_Pr_P=v_Ar_A$; koło → $\tfrac{GM}{r^2}=\tfrac{v^2}{r}$.
🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
stosować prawo powszechnego ciążenia i wyznaczać punkt, w którym siły się równoważą,
wyprowadzać i stosować III prawo Keplera $\dfrac{a^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}$,
używać II prawa Keplera (zachowanie momentu pędu): $v_Pr_P=v_Ar_A$,
obliczać prędkości kosmiczne, okres satelity i masę ciała centralnego.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„orbita eliptyczna, peryhelium, aphelium” → $a=\tfrac{r_P+r_A}{2}$ oraz $v_Pr_P=v_Ar_A$,
„oblicz okres obiegu w latach, dane w au” → III prawo Keplera w jednostkach Ziemi: $T^2=a^3$,
„gdzie wypadkowa siła grawitacji jest zerowa” → $\dfrac{M_1}{x^2}=\dfrac{M_2}{(d-x)^2}$,
„satelita geostacjonarny” → $T=24$ h i orbita w płaszczyźnie równika.
📘 Teoria w pigułce
$F=G\dfrac{Mm}{r^2}$; przyśpieszenie grawitacyjne $g=G\dfrac{M}{r^2}$ — nie zależy od masy ciała spadającego.
Dla orbity kołowej: $G\dfrac{Mm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r} \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ oraz $T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM}$.
III prawo Keplera: $\dfrac{a_1^3}{T_1^2}=\dfrac{a_2^3}{T_2^2}$; w jednostkach au i lat dla Układu Słonecznego po prostu $T^2=a^3$.
II prawo Keplera (równe pola w równych czasach) to zachowanie momentu pędu: $v_Pr_P=v_Ar_A$ (prędkości prostopadłe do promienia).
Oś wielka elipsy: $2a=r_P+r_A$. W peryhelium ciało porusza się najszybciej.
Energia w polu grawitacyjnym: $E_p=-G\dfrac{Mm}{r}$; II prędkość kosmiczna $v_{II}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}=v_I\sqrt2$.
∑ Najważniejsze wzory
$F=G\dfrac{Mm}{r^2}$
$v_I=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$
$T^2=\dfrac{4\pi^2a^3}{GM}$
$v_Pr_P=v_Ar_A$
$2a=r_P+r_A$
$E_p=-G\dfrac{Mm}{r}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Ustal, czy orbita jest kołowa (wtedy $r$ stałe), czy eliptyczna (wtedy $a=\tfrac{r_P+r_A}{2}$).
Do okresów i promieni użyj III prawa Keplera; w au i latach stała znika.
Do porównania prędkości w dwóch punktach elipsy użyj $v_Pr_P=v_Ar_A$ (lub ZZE z $E_p=-\tfrac{GMm}{r}$).
Do „zerowej siły” zapisz równość sił i rozwiąż równanie kwadratowe (pierwiastkuj obie strony).
Sprawdź rząd wielkości — okresy planet w latach, prędkości w km/s.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $a=r_P+r_A$
✓ $2a=r_P+r_A$
to oś wielka, nie półoś
✗ $v_P/v_A=r_P/r_A$
✓ $v_P/v_A=r_A/r_P$
bliżej — szybciej
✗ III prawo Keplera z $r$ orbity eliptycznej
✓ z półosią wielką $a$
dla elipsy liczy się $a$
✗ $g$ zależy od masy spadającego ciała
✓ $g=\tfrac{GM}{r^2}$
masa ciała się skraca
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 5 z matury 2026 (planetoida) i 5 z matury 2025 (Chiron)
Planetoida krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej o peryhelium $r_P=0{,}81$ au i osi wielkiej $2a=5{,}62$ au. Prędkość w peryhelium wynosi $v_P=43{,}29\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$. Oblicz okres obiegu planetoidy (w latach) oraz jej prędkość w aphelium.
Półoś wielka: $a=\dfrac{5{,}62}{2}=2{,}81$ au.
III prawo Keplera (au, lata): $T=\sqrt{a^3}=\sqrt{2{,}81^3}=\sqrt{22{,}188}\approx4{,}71$ roku.
Aphelium: $r_A=2a-r_P=5{,}62-0{,}81=4{,}81$ au.
Z II prawa Keplera: $v_A=v_P\dfrac{r_P}{r_A}=43{,}29\cdot\dfrac{0{,}81}{4{,}81}\approx7{,}29\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
2 pkt — zastosowanie III prawa Keplera i wynik $\approx4{,}7$ roku,
3 pkt — obliczenie $r_A$,
4 pkt — zastosowanie $v_Pr_P=v_Ar_A$ i wynik $\approx7{,}3\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Oblicz pierwszą prędkość kosmiczną dla planety o masie $M=6\cdot10^{24}$ kg i promieniu $R=6{,}4\cdot10^6$ m ($G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$).
Odległość między środkami Ziemi i Księżyca wynosi $d=384\,400$ km, a masa Ziemi jest $81$ razy większa od masy Księżyca. Oblicz odległość od środka Ziemi punktu, w którym wypadkowa siła grawitacji działająca na sondę jest równa zeru.
$\dfrac{GM_Zm}{x^2}=\dfrac{GM_Km}{(d-x)^2}$, a $M_Z=81M_K$.
Wyprowadź wzór na promień orbity satelity geostacjonarnego w zależności od $G$, $M$ (masa Ziemi) i $T$, a następnie oblicz go dla $M=6\cdot10^{24}$ kg, $T=24$ h ($G=6{,}67\cdot10^{-11}$).
Dwie sondy krążą wokół Słońca po orbitach kołowych o promieniach $r_A=0{,}962$ au i $r_B=1{,}043$ au. Okres obiegu sondy $A$ wynosi $344$ doby. Oblicz okres obiegu sondy $B$ oraz iloraz $\dfrac{v_A}{v_B}$ ich prędkości liniowych.
III prawo Keplera: $\dfrac{T_B^2}{T_A^2}=\dfrac{r_B^3}{r_A^3} \Rightarrow T_B=T_A\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
