Drgania harmoniczne — klucz maturalny, poziom rozszerzony
PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość2/5arkuszy 2022–2026
Punkty w arkuszuśr. 3,0 pkt (0–8)
Formy zadańwiązka 7–8 pkt: P/F z wykresu, rysunek sił w wybranym punkcie, obliczenie amplitudy lub siły
🔑 Sygnał: Okres → $k$; najniższe położenie → $F_s=mg+kA$.
🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
odczytywać z wykresu okres, amplitudę i fazę drgań,
stosować $T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$ (sprężyna) i $T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$ (wahadło matematyczne),
analizować siły w dowolnym punkcie toru (wypadkowa zawsze do położenia równowagi),
korzystać z bilansu energii $E=\tfrac12kA^2=\tfrac12mv_{max}^2$.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„ciężarek na sprężynie / wahadło” + wykres okresowy → ruch harmoniczny,
„w najniższym położeniu” → $F_s=mg+kA$, bo wydłużenie to $\Delta l+A$,
„największa prędkość” → w położeniu równowagi; „największe przyśpieszenie” → w skrajnym,
wykres $\tfrac{F_s}{F_g}$ → wartość $1$ odpowiada położeniu równowagi.
📘 Teoria w pigułce
$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$, $v=\omega A\cos(\dots)$, $a=-\omega^2x$ — przyśpieszenie zawsze przeciwne do wychylenia.
Siła harmoniczna: $F=-kx$; w położeniu równowagi wypadkowa $=0$, w skrajnym — największa.
Wahadło sprężynowe: $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ — okres nie zależy od amplitudy ani od $g$.
Wahadło matematyczne: $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ — nie zależy od masy (dla małych wychyleń).
Pionowa sprężyna: położenie równowagi jest przesunięte o $\Delta l=\dfrac{mg}{k}$; drgania zachodzą wokół niego, a $T$ się nie zmienia.
Energia: $E=\tfrac12kA^2$; $E_k$ maksymalna w środku, $E_p$ sprężystości — na krańcach; $v_{max}=\omega A$, $a_{max}=\omega^2A$.
∑ Najważniejsze wzory
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$
$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$
$E=\tfrac12kA^2$
$v_{max}=\omega A$
$a_{max}=\omega^2A$
$\Delta l=\dfrac{mg}{k}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Z wykresu odczytaj okres $T$ (odległość między powtórzeniami) i amplitudę.
Policz $\omega=\tfrac{2\pi}{T}$, a z $T=2\pi\sqrt{\tfrac mk}$ wyznacz $k$ lub $m$.
Zaznacz położenie równowagi — wszystkie siły odnoś do niego.
Do amplitudy użyj energii ($\tfrac12kA^2$) albo $v_{max}=\omega A$.
Sprawdź: w skrajnym położeniu $v=0$, ale $a$ jest maksymalne.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $T$ zależy od amplitudy
✓ nie zależy (izochronizm)
to cecha ruchu harmonicznego
✗ $F_s=kA$ w najniższym punkcie
✓ $F_s=k(\Delta l+A)=mg+kA$
sprężyna była już rozciągnięta
✗ $v$ i $a$ maksymalne w tym samym punkcie
✓ przesunięte o ćwierć okresu
$v$ w środku, $a$ na krańcu
✗ wahadło matematyczne zależy od masy
✓ $T=2\pi\sqrt{\tfrac lg}$
masa się skraca
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 3.3 z matury 2024 i 5.2–5.3 z matury 2022
Ciężarek o masie $m=0{,}15$ kg zawieszony na sprężynie drga pionowo z okresem $T=0{,}8$ s. Amplituda drgań wynosi $A=4$ cm ($g=9{,}8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny oraz wartość siły sprężystości w najniższym położeniu ciężarka.
3 pkt — zauważenie, że wydłużenie to $\Delta l+A$,
4 pkt — obliczenie $F_s\approx1{,}8$ N.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Sprężyna o współczynniku $k=200\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ jest rozciągnięta o $6$ cm i puszczona z ciężarkiem o masie $0{,}5$ kg (na gładkim poziomym stole). Oblicz maksymalną prędkość ciężarka.
Ciężarek o masie $0{,}25$ kg drga na sprężynie o $k=40\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ z amplitudą $6$ cm ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz wartość siły sprężystości w najwyższym i najniższym położeniu ciężarka.
$\Delta l=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{2{,}5}{40}=0{,}0625$ m.
Najniżej: $F=k(\Delta l+A)=40\cdot0{,}1225=4{,}9$ N.
Najwyżej: $F=k(\Delta l-A)=40\cdot0{,}0025=0{,}1$ N (sprężyna wciąż rozciągnięta).
Odpowiedź: $F_{góra}=0{,}1$ N; $F_{dół}=4{,}9$ N
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie wydłużenia w równowadze,
2 pkt — siła w najniższym położeniu,
3 pkt — siła w najwyższym położeniu.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Wahadło matematyczne o długości $1$ m wychylono o kąt $10^\circ$ i puszczono. Oblicz okres drgań oraz maksymalną prędkość ciężarka ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
$T=2\pi\sqrt{\dfrac lg}=2\pi\sqrt{0{,}1}\approx1{,}987$ s.
Wysokość podniesienia: $h=l(1-\cos10^\circ)=1-0{,}9848=0{,}0152$ m.
Wykaż, że dla ciężarka drgającego na sprężynie stosunek maksymalnej wartości siły sprężystości do minimalnej (w drganiach pionowych o amplitudzie $A$) jest równy $\dfrac{\Delta l+A}{\Delta l-A}$, i oblicz ten stosunek dla $\Delta l=10$ cm i $A=4$ cm.
Wydłużenie sprężyny zmienia się od $\Delta l-A$ (najwyżej) do $\Delta l+A$ (najniżej).
Siła sprężystości $F=k\cdot(\text{wydłużenie})$, więc stosunek wynosi $\dfrac{k(\Delta l+A)}{k(\Delta l-A)}=\dfrac{\Delta l+A}{\Delta l-A}$. $\blacksquare$
Dla danych: $\dfrac{0{,}14}{0{,}06}=\dfrac73\approx2{,}33$.
Odpowiedź: stosunek $=\dfrac{7}{3}\approx2{,}33$
Schemat punktowania:
1 pkt — ustalenie skrajnych wydłużeń sprężyny,
2 pkt — zapisanie sił i skrócenie $k$,
3 pkt — wykazanie wzoru,
4 pkt — obliczenie wartości liczbowej.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
